Γωνίες με κοινή διχοτόμο

Συντονιστές: vittasko, silouan, Doloros

giannimani
Δημοσιεύσεις: 96
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 6:26 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Γωνίες με κοινή διχοτόμο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από giannimani » Σάβ Φεβ 09, 2019 6:39 pm

Δύο άνισοι κύκλοι με κέντρα M και N τέμνονται στα σημεία P και Q. Η εφαπτομένη του πρώτου κύκλου, που άγεται στο σημείο P, τέμνει
την εφαπτομένη στο Q του δεύτερου κύκλου, στο σημείο X. Να αποδείξετε ότι οι γωνίες PXQ και MXN έχουν κοινή διχοτόμο.
sm_bis.png
sm_bis.png (47.99 KiB) Προβλήθηκε 315 φορές



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3846
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Γωνίες με κοινή διχοτόμο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Σάβ Φεβ 09, 2019 11:50 pm

giannimani έγραψε:
Σάβ Φεβ 09, 2019 6:39 pm
Δύο άνισοι κύκλοι με κέντρα M και N τέμνονται στα σημεία P και Q. Η εφαπτομένη του πρώτου κύκλου, που άγεται στο σημείο P, τέμνει
την εφαπτομένη στο Q του δεύτερου κύκλου, στο σημείο X. Να αποδείξετε ότι οι γωνίες PXQ και MXN έχουν κοινή διχοτόμο.sm_bis.png
Ας δούμε μια λύση με στοιχειώδη μέσα στο όμορφο πρόβλημα του Γιάννη

Έστω K\equiv XQ\cap \left( M \right),K\ne Q\,\,\,\And \,\,L\equiv XP\cap \left( N \right),L\ne P . Τότε έχουμε:
\angle XPK=\angle KQP\equiv \angle XQP:\left( 1 \right) (υπό χορδής και εφαπτομένης – αντίστοιχη εγγεγραμμένη στον κύκλο \left( M \right) ) οπότε επειδή τα τρίγωνα \vartriangle XKP,\vartriangle XQP μοιράζονται και τη γωνία \angle KXP\equiv \angle PXQ θα είναι όμοια , άρα \dfrac{{XP}}{{XQ}} = \dfrac{{KP}}{{PQ}}:\left( 2 \right)
Κοινή διχοτόμος.png
Κοινή διχοτόμος.png (50.44 KiB) Προβλήθηκε 250 φορές
Επίσης \angle KMP\mathop  = \limits^{\varepsilon \pi \iota \kappa \varepsilon \nu \tau \rho \eta  - \varepsilon \gamma \gamma \varepsilon \gamma \rho \alpha \mu \mu \varepsilon \nu \eta } 2\left( {\angle KQP} \right) \mathop  = \limits^{\angle KQP = \angle QLP\,\,(\upsilon \pi o\,\,\chi o\rho \delta \eta \varsigma \,\,\kappa \alpha \iota \,\,\varepsilon \varphi \alpha \pi \tau o\mu \varepsilon \nu \eta \varsigma \,\, - \,\,\alpha \nu \tau \iota \sigma \tau o\iota \chi \eta \,\,\varepsilon \gamma \gamma \varepsilon \gamma \rho \alpha \mu \mu \varepsilon \nu \eta )} 2\left( {\angle QLP} \right)\mathop  = \limits^{\varepsilon \gamma \gamma \varepsilon \gamma \rho \alpha \mu \mu \varepsilon \nu \eta \,\, - \,\,\varepsilon \pi \iota \kappa \varepsilon \nu \tau \rho \eta } \angle PMQ

Και συνεπώς τα ισοσκελή τρίγωνα (εξαιτίας των ακτινών) \vartriangle MKP,\vartriangle NQP έχοντας τις γωνίες των «κορυφών» τους ίσες θα είναι όμοια οπότε \dfrac{MP}{NQ}=\dfrac{KP}{PQ}:\left( 3 \right)

Από \left( 2 \right),\left( 3 \right)\Rightarrow \dfrac{XP}{XQ}=\dfrac{MP}{NQ}:\left( 4 \right) . Από την \left( 4 \right) προκύπτει ότι οι αντίστοιχες κάθετες πλευρές των ορθογωνίων (στις κορυφές P,Q από τις επαφές) τριγώνων \vartriangle XPM,\vartriangle XQN αντίστοιχα είναι ανάλογες , οπότε αυτά είναι όμοια και συνεπώς \angle MXP=\angle NXQ\Rightarrow \angle MXQ=\angle NXP οπότε οι γωνίες \angle MXN,\angle QXP έχουν κοινή διχοτόμο και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.


Στάθης


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3846
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Γωνίες με κοινή διχοτόμο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Κυρ Φεβ 10, 2019 8:36 am

giannimani έγραψε:
Σάβ Φεβ 09, 2019 6:39 pm
Δύο άνισοι κύκλοι με κέντρα M και N τέμνονται στα σημεία P και Q. Η εφαπτομένη του πρώτου κύκλου, που άγεται στο σημείο P, τέμνει
την εφαπτομένη στο Q του δεύτερου κύκλου, στο σημείο X. Να αποδείξετε ότι οι γωνίες PXQ και MXN έχουν κοινή διχοτόμο.sm_bis.png
Ας δούμε και μια διαφορετική αντιμετώπιση που "πιθανόν" να δικαιολογεί και το φάκελο ...

Έστω XA,XB τα δεύτερα (εκτός των XP,XQ εφαπτομενικά τμήματα των κύκλων \left( M \right),\left( N \right) αντίστοιχα και ας είναι

K \equiv XQ \cap \left( M \right),K \ne Q,E \equiv XQ \cap AP,L \equiv XP \cap \left( N \right), L \ne P,Z \equiv XP \cap BQ
Με AP,BQ τις πολικές του X ως προς τους κύκλους \left( M \right),\left( N \right) αντίστοιχα προκύπτει ότι οι σειρές \left( X,K,E,Q \right),\left( X,P,Z,L \right) είναι αρμονικές άρα έχουν ίσους διπλούς λόγους , δηλαδή \left( X,K,E,Q \right)=\left( X,P,Z,L \right):\left( 1 \right)
Κοινή διχοτόμος 2.png
Κοινή διχοτόμος 2.png (45.21 KiB) Προβλήθηκε 211 φορές
Με \angle XPK\mathop  = \limits^{\upsilon \pi o\,\,\chi o\rho \delta \eta \varsigma \,\,\kappa \alpha \iota \,\,\varepsilon \varphi \alpha \pi \tau o\mu \varepsilon \nu \eta \varsigma ...} \angle PQK \mathop  = \limits^{\upsilon \pi o\,\,\chi o\rho \delta \eta \varsigma \,\,\kappa \alpha \iota \,\,\varepsilon \varphi \alpha \pi \tau o\mu \varepsilon \nu \eta \varsigma ...} \angle PLQ \Rightarrow KP\parallel QL\mathop  \Rightarrow \limits^{\left( 1 \right)}

KP\parallel QL\parallel EZ \Rightarrow \angle PZE = \angle XPK = \angle PQK \equiv \angle PQE \Rightarrow P,Z,Q,E ομοκυκλικά , οπότε \angle XPA \equiv \angle XPE\mathop  = \limits^{\varepsilon \xi \omega \tau \varepsilon \rho \iota \kappa \eta \,\,....} \angle ZQE \equiv \angle BQX άρα τα ισοσκελή τρίγωνα (από τα εφαπτομενικά τμήματα …) \vartriangle XAP,\vartriangle XQB είναι όμοια και συνεπώς

\angle AXP = \angle QXB \Rightarrow 2\left( {\angle PXM} \right) = 2\left( {\angle QXN} \right)  \Rightarrow \angle PXM = \angle QXN \ldots και το ζητούμενο έπεται (όπως στην προηγούμενη ανάρτηση)


Στάθης


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
giannimani
Δημοσιεύσεις: 96
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 6:26 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Γωνίες με κοινή διχοτόμο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από giannimani » Κυρ Φεβ 10, 2019 9:52 am

sm_bis_sol.png
sm_bis_sol.png (88.56 KiB) Προβλήθηκε 195 φορές
Θεωρούμε τη διχοτόμο της γωνίας PXQ η οποία τέμνει την ευθεία MN στο σημείο K. Θα αποδείξουμε ότι η XK είναι διχοτόμος και της γωνίας MXN.

Έστω ότι οι ευθείες των ακτίνων MP και NQ τέμνονται στο σημείο Y. Τότε, εφόσον \angle XPY\,=\,\angle XQY\,=\,90^{\circ}, τα σημεία X, P, Q και Y ανήκουν σε κύκλο (\omega) διαμέτρου XY. Το κέντρο Ο αυτού του κύκλου ανήκει στην ευθεία MN (εφόσον η τελευταία είναι μεσοκάθετος της κοινής χορδής PQ των κύκλων της υπόθεσης), η οποία διέρχεται επίσης από το μέσο του τόξου PQ του κύκλου (\omega), που είναι το σημείο K.

Έστω επίσης L το δεύτερο κοινό σημείο της MN με τον κύκλο (\omega). Η KL διάμετρος του (\omega), οπότε \angle KXL \,=\,90^{\circ}.
Για να αποδείξουμε ότι η XK διχοτόμος της γωνίας MXN, αρκεί
(MNKL)\,=\,-1\,\Leftrightarrow \, OK^2\,=\,OM \cdot ON\,\Leftrightarrow \, OY^2\,=\,OM\cdot ON
\Leftrightarrow \, \frac{OY}{OM}\,=\,\frac{ON}{OY}\,\Leftrightarrow \,\vartriangle OYM\,\sim\, \vartriangle ONY.

Τα τετράπλευρα OYQM και OYNP είναι εγγράψιμα. Πράγματι,
\angle MYQ \,=\,\angle PYQ\,=\,\frac{1}{2}\angle POQ\,=\,\angle MOQ\,=\,PON.
(η γωνία POQ είναι αντίστοιχη επίκεντρη της γωνίας XYP, και η OK διχοτόμος της POQ).
Τώρα, εύκολα προκύπτει η ζητούμενη ομοιότητα των τριγώνων, και συνεπώς το αποδεικτέο.


Στην πορεία της λύσης χρησιμοποιήθηκαν τα επόμενα λήμματα:

1. (MNKL)\,=\,-1 \,\Leftrightarrow \, (KLMN)\,=\,-1.

2. Αν (KLMN)\,=\,-1 και O το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος KL, τότε OK^2\,=\,OM \cdot  ON.

3. Έστω τέσσερα σημεία L, M, K και N, με αυτή τη σειρά, που ανήκουν σε μία ευθεία (\varepsilon).
Να αποδείξετε ότι, αν ισχύουν δύο από τους επόμενους τρεις ισχυρισμούς, τότε θα ισχύει και ο τρίτος:
(a) (LKMN)=-1.
(b) Η XK είναι εσωτερική διχοτόμος της \angle{MXN}, όπου X \notin (\varepsilon).
(c) XK \perp XL, όπου X \notin (\varepsilon).


JimNt.
Δημοσιεύσεις: 528
Εγγραφή: Παρ Μάιος 20, 2016 3:00 pm

Re: Γωνίες με κοινή διχοτόμο

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από JimNt. » Κυρ Φεβ 10, 2019 11:01 am

Διαφορετικά με δύναμη σημείου και νόμο συνημιτόνων προκύπτει ότι οι εφαπτομένες των δύο γωνιών είναι ίσες από όπου προκύπτει το ζητούμενο.


It's the questions we can't answer that teach us the most. They teach us how to think. If you give a man an answer, all he gains is a little fact. But give him a question and he'll look for his own answers.
min##
Δημοσιεύσεις: 148
Εγγραφή: Τρί Απρ 18, 2017 3:40 pm

Re: Γωνίες με κοινή διχοτόμο

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από min## » Κυρ Φεβ 10, 2019 12:18 pm

isogonia1.png
isogonia1.png (36.73 KiB) Προβλήθηκε 155 φορές
Για να το δούμε και με αντιστροφή.
Έστω K\equiv XQ\cap (M),L\equiv XP\cap (N).Όπως είδαμε και παραπάνω είναι KP//QL.Θεωρούμε σύνθεση αντιστροφής κέντρου X και ακτίνας \sqrt{XP\cdot XQ} και συμμετρίας ως προς τη διχοτόμο της PXQ\angle.Τα P,Q ανταλλάσσονται,ενώ και K,L ανταλλάσονται,αφού \frac{XK}{XQ}=\frac{XP}{XL} από Θαλή,δηλαδή XK\cdot XL=XP\cdot XQ.Άρα ο (M) πάει στον (N) κι αντίστροφα.Αν δούμε λίγο τον κύκλο που προκύπτει από αυτή τη σύνθεση μετασχηματισμών πριν όμως τη συμμετρία,αυτός είναι ο αντίστροφος του (M).Άρα,το κέντρο του κύκλου αυτού βρίσκεται πάνω στην XM,αφού το M κέντρο του αρχικού κύκλου (γνωστή πρόταση).Άρα,τα X,M,N',με N' το κέντρο του αντίστροφου του (M)
είναι συνευθειακά,άρα μετά τη συμμετρία,το συμμετροαντίστροφο του M θα πέσει κάπου στη XN από όπου έπεται η ισογωνιότητα..


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης