Μεταβλητά σημεία σε σταθερή ευθεία.

Συντονιστές: vittasko, silouan, Doloros

vittasko
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2025
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.

Μεταβλητά σημεία σε σταθερή ευθεία.

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από vittasko » Τρί Ιαν 15, 2019 4:59 pm

Δίνεται τρίγωνο \vartriangle ABC εγγεγραμμένο σε κύκλο (O) και έστω D,\ E , τυχόντα σημεία επί των πλευρών του AC,\ AB , αντιστοίχως. Η ευθεία DE τέμνει τον κύκλο (O) στα σημεία M,\ N , με το σημείο D έστω μεταξύ των E,\ M και έστω τα σημεία P\equiv NA\cap CM και Q\equiv MA\cap BN . Αποδείξτε ότι τα σημεία R,\ S ανήκουν στην A-συμμετροδιάμεσο του \vartriangle ABC , όπου R είναι το σημείο τομής των δια των σημείων D,\ E καθέτων ευθειών επί των OP,\ OQ αντιστοίχως και S\equiv PD\cap QE.

Κώστας Βήττας.
Συνημμένα
f 185_t 63624.PNG
Μεταβλητά σημεία σε σταθερή ευθεία.
f 185_t 63624.PNG (28.03 KiB) Προβλήθηκε 553 φορές
τελευταία επεξεργασία από vittasko σε Τρί Ιαν 15, 2019 11:20 pm, έχει επεξεργασθεί 17 φορές συνολικά.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 790
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Μεταβλητά σημεία σε σταθερή ευθεία.

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Τρί Ιαν 15, 2019 6:16 pm

Θα αποδείξουμε αρχικά πως το S ανήκει στην A-συμμετροδιάμεσο.

Έστω ότι η εφαπτόμενη από το B τέμνει την εφαπτόμενη από το M στο K και ότι η εφαπτόμενη από το C τέμνει την εφαπτόμενη από το N στο L.

Έστω ότι οι εφαπτόμενες από τα B, C τέμνονται στο F.

K, Q, E είναι συνευθειακά από Pascal στο εκφυλισμένο BBNMMA.

Όμοια είναι και τα L, P, D συνευθειακά.

Σχόλιο: Τα σημεία μπορεί σε κάποια σχήματα να μην είναι με αυτή τη σειρά

Έστω ότι οι CN, BM τέμνονται στο J.

Προφανώς το J ανήκει από τον ορισμό του στις πολικές των σημείων K, L, άρα από La-Hirre η πολική του J είναι η KL.

Είναι ακόμη γνωστό ότι η τομή των BC και NM, έστω G, ανήκει στην πολική του J, δηλαδή στην ευθεία KL.

Άρα οι ευθείες KL, NM, BC συντρέχουν.

Από Desargues λοιπόν με τα τρίγωνα KBE και LCD προκύπτει ότι τα A, S, F είναι συνευθειακά, άρα το S ανήκει στην συμμετροδιάμεσο AF.
τελευταία επεξεργασία από Διονύσιος Αδαμόπουλος σε Τρί Ιαν 15, 2019 6:35 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Houston, we have a problem!
Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 790
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Μεταβλητά σημεία σε σταθερή ευθεία.

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Τρί Ιαν 15, 2019 6:34 pm

Για το σημείο R.

Θεωρούμε ότι η εφαπτομένη από το A στον κύκλο τέμνει την BC στο W. Έστω ότι η A-Συμμετροδιάμεσος τέμνει τον κύκλο στο Z. Είναι γνωστό ότι η εφαπτόμενη από το Z στον κύκλο διέρχεται από το W (Το ABZC είναι αρμονικό τετράπλευρο).

Από Pascal στο εκφυλισμένο AAMCBN προκύπτει ότι τα P, Q, W είναι συνευθειακά.

Άρα οι ευθείες PQ, AW, ZW συντρέχουν.

Αν θεωρήσουμε αυτές τις ευθείες ως πολικές προκύπτει ότι οι πόλοι τους είναι συνευθειακά σημεία.

Ο πόλος της PQ είναι το σημείο που οι πολικές των P, Q ως προς τον κύκλο τέμνονται.

Το D ανήκει στην πολική του P (κλασσικό), άρα η κάθετη από το D στην OP είναι η πολική του P.

Όμοια η κάθετη από το E στην OQ είναι η πολική του Q.

Άρα ο πόλος της PQ είναι το σημείο R!

Ο πόλος του A είναι το A και ο πόλος του Z είναι το Z.

Σύμφωνα με τα παραπάνω τα σημεία A, R, Z είναι συνευθειακά και τελειώσαμε!


Houston, we have a problem!
min##
Δημοσιεύσεις: 207
Εγγραφή: Τρί Απρ 18, 2017 3:40 pm

Re: Μεταβλητά σημεία σε σταθερή ευθεία.

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από min## » Πέμ Μάιος 16, 2019 8:31 pm

Για να το δούμε και με μετασχηματισμούς.
Η PQ δεν τέμνει τον κύκλο (δεν είναι πολύ δύσκολο/παραλείπεται).
Άρα υπάρχει προβολικός μετασχηματισμός που να τη στέλνει στην ευθεία στο άπειρο και να στέλνει τον κύκλο σε κύκλο (κατασκευή εδώ viewtopic.php?f=112&t=31170).Παίρνοντας αυτόν τον μετασχηματισμό,τα P,Q πάνε στην ευθεία στο άπειρο οπότε οι AM,BN και AN,CM γίνονται παράλληλες (τέμνονται στο άπειρο).Βλέποντας τα τόξα,εξαιτίας των παραλληλιών και επειδή πρέπει τα M,N να βρίσκονται στον κύκλο, βγάζουμε πως το ABC πρέπει αναγκαστικά να είναι ισοσκελές.
Επιπλέον,επειδή οι QS,PS περνούν από σημεία στο άπειρο (P,Q) βλέπουμε πως το S ορίζεται ως η τομή της εκ του E παράλληλης στην BN με την εκ του D παράλληλη στην CM.Είναι λοιπόν BES\angle =NBE\angle =BNE\angle =SEM\angle από παραλληλίες και ίσα τόξα και ομοίως EDS\angle =SDC\angle.Άρα το S είναι παράκεντρο του AED και άρα βρίσκεται στη διχοτόμο της A που ταυτίζεται με τη συμμετροδιάμεσο ως προς την Α.Όμως,ο προβολικός μετασχηματισμός (διατηρώντας τις εφάψεις) έστειλε τη συμμετροδιάμεσο του αρχικού τριγώνου στη συμμετροδιάμεσο του νέου και επειδή διατηρεί τις συνευθειακότητες,το S ανήκει και στη συμμετροδιάμεσο του παλιού.Τέλος,είναι OQ//ES,OP//DS (P,Q στο άπειρο) και συνεπώς το R ορίζεται ως η τομή της εκ του E κάθετης στην ES με την εκ του D κάθετη στην DS δηλαδή είναι το έγκεντρο του ADE δηλαδή ανήκει στη συμμετροδιάμεσο του ABC κλπ...
vittt.png
vittt.png (42.06 KiB) Προβλήθηκε 237 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης