Μεταβλητά σημεία σε σταθερή ευθεία.

Συντονιστές: vittasko, silouan, Doloros

vittasko
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2017
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.

Μεταβλητά σημεία σε σταθερή ευθεία.

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από vittasko » Τρί Ιαν 15, 2019 4:59 pm

Δίνεται τρίγωνο \vartriangle ABC εγγεγραμμένο σε κύκλο (O) και έστω D,\ E , τυχόντα σημεία επί των πλευρών του AC,\ AB , αντιστοίχως. Η ευθεία DE τέμνει τον κύκλο (O) στα σημεία M,\ N , με το σημείο D έστω μεταξύ των E,\ M και έστω τα σημεία P\equiv NA\cap CM και Q\equiv MA\cap BN . Αποδείξτε ότι τα σημεία R,\ S ανήκουν στην A-συμμετροδιάμεσο του \vartriangle ABC , όπου R είναι το σημείο τομής των δια των σημείων D,\ E καθέτων ευθειών επί των OP,\ OQ αντιστοίχως και S\equiv PD\cap QE.

Κώστας Βήττας.
Συνημμένα
f 185_t 63624.PNG
Μεταβλητά σημεία σε σταθερή ευθεία.
f 185_t 63624.PNG (28.03 KiB) Προβλήθηκε 290 φορές
τελευταία επεξεργασία από vittasko σε Τρί Ιαν 15, 2019 11:20 pm, έχει επεξεργασθεί 17 φορές συνολικά.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 768
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Μεταβλητά σημεία σε σταθερή ευθεία.

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Τρί Ιαν 15, 2019 6:16 pm

Θα αποδείξουμε αρχικά πως το S ανήκει στην A-συμμετροδιάμεσο.

Έστω ότι η εφαπτόμενη από το B τέμνει την εφαπτόμενη από το M στο K και ότι η εφαπτόμενη από το C τέμνει την εφαπτόμενη από το N στο L.

Έστω ότι οι εφαπτόμενες από τα B, C τέμνονται στο F.

K, Q, E είναι συνευθειακά από Pascal στο εκφυλισμένο BBNMMA.

Όμοια είναι και τα L, P, D συνευθειακά.

Σχόλιο: Τα σημεία μπορεί σε κάποια σχήματα να μην είναι με αυτή τη σειρά

Έστω ότι οι CN, BM τέμνονται στο J.

Προφανώς το J ανήκει από τον ορισμό του στις πολικές των σημείων K, L, άρα από La-Hirre η πολική του J είναι η KL.

Είναι ακόμη γνωστό ότι η τομή των BC και NM, έστω G, ανήκει στην πολική του J, δηλαδή στην ευθεία KL.

Άρα οι ευθείες KL, NM, BC συντρέχουν.

Από Desargues λοιπόν με τα τρίγωνα KBE και LCD προκύπτει ότι τα A, S, F είναι συνευθειακά, άρα το S ανήκει στην συμμετροδιάμεσο AF.
τελευταία επεξεργασία από Διονύσιος Αδαμόπουλος σε Τρί Ιαν 15, 2019 6:35 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Houston, we have a problem!
Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 768
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Μεταβλητά σημεία σε σταθερή ευθεία.

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Τρί Ιαν 15, 2019 6:34 pm

Για το σημείο R.

Θεωρούμε ότι η εφαπτομένη από το A στον κύκλο τέμνει την BC στο W. Έστω ότι η A-Συμμετροδιάμεσος τέμνει τον κύκλο στο Z. Είναι γνωστό ότι η εφαπτόμενη από το Z στον κύκλο διέρχεται από το W (Το ABZC είναι αρμονικό τετράπλευρο).

Από Pascal στο εκφυλισμένο AAMCBN προκύπτει ότι τα P, Q, W είναι συνευθειακά.

Άρα οι ευθείες PQ, AW, ZW συντρέχουν.

Αν θεωρήσουμε αυτές τις ευθείες ως πολικές προκύπτει ότι οι πόλοι τους είναι συνευθειακά σημεία.

Ο πόλος της PQ είναι το σημείο που οι πολικές των P, Q ως προς τον κύκλο τέμνονται.

Το D ανήκει στην πολική του P (κλασσικό), άρα η κάθετη από το D στην OP είναι η πολική του P.

Όμοια η κάθετη από το E στην OQ είναι η πολική του Q.

Άρα ο πόλος της PQ είναι το σημείο R!

Ο πόλος του A είναι το A και ο πόλος του Z είναι το Z.

Σύμφωνα με τα παραπάνω τα σημεία A, R, Z είναι συνευθειακά και τελειώσαμε!


Houston, we have a problem!
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης