Στην ίδια ευθεία

Συντονιστές: vittasko, silouan, Doloros

giannimani
Δημοσιεύσεις: 96
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 6:26 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Στην ίδια ευθεία

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από giannimani » Πέμ Νοέμ 29, 2018 6:47 pm

Στον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου ABC, θεωρούμε τα σημεία P και Q. Το σημείο A ' της ευθείας της πλευράς BC είναι τέτοιο, ώστε οι ευθείες PA' και QA ' να είναι συμμετρικές ως προς τη BC. Τα σημεία B ', C' ορίζονται με ανάλογο τρόπο. Να αποδείξετε ότι τα A ', B', C ' ανήκουν στην ίδια ευθεία.
Refl.png
Refl.png (55.17 KiB) Προβλήθηκε 228 φορές



Λέξεις Κλειδιά:
min##
Δημοσιεύσεις: 147
Εγγραφή: Τρί Απρ 18, 2017 3:40 pm

Re: Στην ίδια ευθεία

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από min## » Πέμ Νοέμ 29, 2018 10:01 pm

Για να δούμε.
Ορίζω P_{1},P_{2},P_{3} τα συμμετρικά του P ως προς τις AB,AC,BC και ομοίως τα Q_{1},Q_{2},Q_{3} για το Q.Είναι γνωστό ότι οι P_{1}P_{2}P_{3},Q_{1}Q_{2}Q_{3} είναι ευθείες,οι λεγόμενες ευθείες Steiner των P,Q οι οποίες περνούν από το ορθόκεντρο του ABC.
Τα σημεία A_{1},B_{1},C_{1} μπορούν να οριστούν ως PQ_{3}\cap BC ,PQ_{2}\cap AC,PQ_{1}\cap AB και ως QP_{3}\cap BC ,QP_{2}\cap AC,QP_{1}\cap AB,δηλαδή τελικά ως PQ_{3}\cap QP_{3} ,PQ_{2}\cap QP_{2},PQ_{1}\cap QP_{1} και ζητείται να δειχτεί ότι είναι συνευθειακά.
Ισοδύναμα,ζητείται να δειχτεί ότι οι δέσμες P(Q,Q_{1},Q_{2},Q_{3}),Q(P,P_{1},P_{2},P_{3}) έχουν ίσους διπλούς λόγους,γιατί τότε λόγω της κοινής τους ακτίνας, τα σημεία τομής των ομόλογων ακτινών θα είναι συνευθειακά.
Αρκεί λοιπόν να δειχτεί ότι οι Q(P,Q_{1},Q_{2},Q_{3}),P(Q,P_{1},P_{2},P_{3}) έχουν ίσους διπλούς λόγους,το οποίο όμως είναι άμεσο από τις καθετότητες(πχ. Q_{3}QQ_{2\angle }\equiv C\angle \equiv P_{3}PP_{2}\angle mod\pi κλπ.,δηλαδή τελικά οι δέσμες έχουν ίσες γωνίες μεταξύ των ακτινών τους κλπ...)
dfrSTEINER.png
dfrSTEINER.png (46.15 KiB) Προβλήθηκε 186 φορές


giannimani
Δημοσιεύσεις: 96
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 6:26 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Στην ίδια ευθεία

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από giannimani » Παρ Νοέμ 30, 2018 9:30 pm

Με την ίδια αφετηρία...

Έστω P_{a}, P_{b}, P_{C} και Q_{a}, Q_{b}, Q_{C} τα συμμετρικά των P, Q ως προς τις BC, AC, AB αντίστοιχα.
Είναι γνωστό ότι καθεμία από τις δύο παραπάνω τριάδες των σημείων, ανήκει στην ίδια ευθεία,
και συγκεκριμένα στις ευθείες Steiner των σημείων P, Q ως προς το τρίγωνο ABC.
Τις συμβολίζουμε με s_{p} και s_{q} αντίστοιχα.

Τότε, και λόγω της υπόθεσης θα είναι:
A'\,=\,(PQ_{a})\cap (QP_{a})\qquad (1),
B'\,=\,(PQ_{b})\cap (QP_{b}),
C'\,=\,(PQ_{c})\cap (QP_{c})

Στη συνέχεια, από τα σημεία P, Q θεωρούμε τις παράλληλες \ell_{q}, \ell_{p} προς τις s_{q}, s_{p} αντίστοιχα.
Έστω K\,=\, s_{p} \cap \ell_{q} και L\,=\, s_{q} \cap \ell_{p} . Τότε οι πλευρές του \vartriangle PP_{a}K είναι παράλληλες προς τις
αντίστοιχες πλευρές του \vartriangle Q_{a}QL, οπότε τα δύο τρίγωνα είναι ομοιόθετα.

Επομένως, οι ευθείες που ενώνουν τις ομόλογες κορυφές των, δηλαδή, οι ευθείες PQ_{a}, P_{a}Q και KL
θα διέρχονται από το κέντρο ομοιοθεσίας των δύο τριγώνων. Αυτό σημαίνει, λόγω της (1) ότι το κέντρο
ομοιοθεσίας είναι το A', δηλαδή, A' \in (KL).

Με όμοιο τρόπο αποδεικνύουμε ότι B' \in (KL) και C' \in (KL).
Srefl.png
Srefl.png (106.16 KiB) Προβλήθηκε 130 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης