Με λίγες διαφορές...
Εφόσον το τετράπλευρο είναι αρμονικό, γνωρίζουμε ότι οι διχοτόμοι
και
αντίστοιχα των γωνιών
και
, θα τέμνονται στο σημείο
της διαγωνίου
. Επίσης, το σημείο τομής
των εξωτερικών διχοτόμων των γωνιών
και
θα ανήκει στην ευθεία της διαγωνίου
. Στη συνέχεια, έστω
,
τα σημεία στα οποία οι
και
τέμνουν τις
και
αντίστοιχα. Θα αποδείξουμε ότι η ευθεία
διέρχεται από το σημείο
. Αρκεί,
(Θεώρημα Μενελάου).
Από τα θεωρήματα των διχοτόμων έχουμε
Εφόσον το τετράπλευρο είναι αρμονικό, τότε
Επομένως, το αριστερό μέλος της
, λόγω των
και
γίνεται:
Τώρα, το συμπέρασμα του προβλήματος προκύπτει με εφαρμογή του αντίστροφου του θεωρήματος Desargques στα τρίγωνα
και
. Πράγματι, τα σημεία τομής
,
,
αντίστοιχα των ευθειών
και
,
και
,
και
ανήκουν στην ίδια ευθεία, οπότε οι ευθείες που συνδέουν τις κορυφές
και
,
και
,
και
θα διέρχονται από το ίδιο σημείο. Όμως, το σημείο τομής των
και
είναι το
. Επομένως, και η ευθεία
θα διέρχεται και αυτή από το
, που είναι το αποδεικτέο.
- Line_incen_sol.png (72.94 KiB) Προβλήθηκε 919 φορές