Στο ίδιο μήκος κύματος
Συντονιστές: vittasko, silouan, Doloros
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1797
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Στο ίδιο μήκος κύματος
Με αφορμή το πρόβλημα που έθεσε ο κ.Τσιάλας από τις κορεάτικες εισαγωγικές εδώ.
Ποιά από τις παρακάτω δυο καμπύλες έχει μεγαλύτερο μήκος: η έλλειψη ή η ημιτονοειδής ;
Ποιά από τις παρακάτω δυο καμπύλες έχει μεγαλύτερο μήκος: η έλλειψη ή η ημιτονοειδής ;
Λέξεις Κλειδιά:
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3341
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: Στο ίδιο μήκος κύματος
ΙΣΟΜΗΚΕΙΣ: χρησιμοποιώντας τον γνωστό τύπο για μήκος καμπύλης και ιδιότητες των δύο καμπύλων, και , βλέπουμε ότι αρκεί να δειχθεί η ισότητα
,
κάτι που επιτυγχάνεται άμεσα μέσω της αντικατάστασης στο πρώτο ολοκλήρωμα.
,
κάτι που επιτυγχάνεται άμεσα μέσω της αντικατάστασης στο πρώτο ολοκλήρωμα.
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1797
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Στο ίδιο μήκος κύματος
Σωστά κ.Γιώργο. Για να τιμήσουμε και το φάκελο, ας το αφήσουμε και για την γεωμετρική λύση.
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3341
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: Στο ίδιο μήκος κύματος
Αλέξανδρε ας θεωρηθεί αδέξια επαναφορά η συνεισφορά μουAl.Koutsouridis έγραψε: ↑Δευ Ιαν 28, 2019 4:39 pmΣωστά κ.Γιώργο. Για να τιμήσουμε και το φάκελο, ας το αφήσουμε και για την γεωμετρική λύση.
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3341
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: Στο ίδιο μήκος κύματος
Επίσημη πλέον επαναφορά ... τρεις μήνες μετά την αρχική ανάρτηση!gbaloglou έγραψε: ↑Δευ Ιαν 28, 2019 11:45 pmΑλέξανδρε ας θεωρηθεί αδέξια επαναφορά η συνεισφορά μουAl.Koutsouridis έγραψε: ↑Δευ Ιαν 28, 2019 4:39 pmΣωστά κ.Γιώργο. Για να τιμήσουμε και το φάκελο, ας το αφήσουμε και για την γεωμετρική λύση.
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1797
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3341
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: Στο ίδιο μήκος κύματος
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3341
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: Στο ίδιο μήκος κύματος
Γενικότερα, αν ο κύλινδρος τμηθεί 'συμμετρικά' από επίπεδο που σχηματίζει γωνία με τον άξονα του, τότε η προκύπτουσα τομή είναι έλλειψη με μήκος περιφέρειας ίσο προς αυτό της ημιτονοειδούς καμπύλης από έως .
Πράγματι, αρκεί να παρατηρηθεί ότι η τομή του παραπάνω κυλίνδρου (ακτίνας και άξονα ταυτιζόμενου με τον άξονα των ) με το παραπάνω επίπεδο είναι η , όπου , οπότε ... κυλίοντας τον κύλινδρο παράλληλα προς τον άξονα των και κάθετα προς τον άξονα των ... η απόσταση που χρειάζεται να διανύσει το τυχόν σημείο της τομής ώσπου να 'προσγειωθεί' στο επίπεδο είναι ίση προς το μήκος του τόξου από το σημείο αυτό μέχρι το επί του κύκλου-τομής του κυλίνδρου και του επιπέδου , ίση δηλαδή προς
[Τα παραπάνω επαληθεύει ο Λογισμός, καθώς το μεν μήκος της ελλειπτικής τομής ισούται προς , το δε μήκος της ημιτονοειδούς ισούται προς . (Η ισότητα των δύο ολοκληρωμάτων καταδεικνύεται μέσω της αντικατάστασης μόνον στην περίπτωση (αρχικό πρόβλημα, βλέπε και πρώτη μου δημοσίευση εδώ), επαληθεύεται όμως αριθμητικά -- και όχι μόνον, κρίνοντας από την απάντηση του WolframAlpha -- για οποιαδήποτε τιμή της γωνίας τομής , στην περίπτωση για παράδειγμα ισχύει η .)]
Πράγματι, αρκεί να παρατηρηθεί ότι η τομή του παραπάνω κυλίνδρου (ακτίνας και άξονα ταυτιζόμενου με τον άξονα των ) με το παραπάνω επίπεδο είναι η , όπου , οπότε ... κυλίοντας τον κύλινδρο παράλληλα προς τον άξονα των και κάθετα προς τον άξονα των ... η απόσταση που χρειάζεται να διανύσει το τυχόν σημείο της τομής ώσπου να 'προσγειωθεί' στο επίπεδο είναι ίση προς το μήκος του τόξου από το σημείο αυτό μέχρι το επί του κύκλου-τομής του κυλίνδρου και του επιπέδου , ίση δηλαδή προς
[Τα παραπάνω επαληθεύει ο Λογισμός, καθώς το μεν μήκος της ελλειπτικής τομής ισούται προς , το δε μήκος της ημιτονοειδούς ισούται προς . (Η ισότητα των δύο ολοκληρωμάτων καταδεικνύεται μέσω της αντικατάστασης μόνον στην περίπτωση (αρχικό πρόβλημα, βλέπε και πρώτη μου δημοσίευση εδώ), επαληθεύεται όμως αριθμητικά -- και όχι μόνον, κρίνοντας από την απάντηση του WolframAlpha -- για οποιαδήποτε τιμή της γωνίας τομής , στην περίπτωση για παράδειγμα ισχύει η .)]
τελευταία επεξεργασία από gbaloglou σε Σάβ Φεβ 23, 2019 8:21 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1797
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Στο ίδιο μήκος κύματος
Η γεωμετρική απόδειξη (δεύτερη σελίδα) των παραπάνω αποτελεσμάτων καθώς και άλλων πιο γενικών, μπορεί κανείς να βρει στο άρθρο των Apostol, Mnatsakanian "Ξετυλίγοντας καμπύλες από κυλίνδρους και κώνους".
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες