Στο ίδιο μήκος κύματος

Συντονιστές: vittasko, silouan, Doloros

Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 816
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Στο ίδιο μήκος κύματος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Σάβ Νοέμ 17, 2018 1:05 pm

Με αφορμή το πρόβλημα που έθεσε ο κ.Τσιάλας από τις κορεάτικες εισαγωγικές εδώ.

Ποιά από τις παρακάτω δυο καμπύλες έχει μεγαλύτερο μήκος: η έλλειψη \displaystyle \left \{  \left ( x,y \right ) : \dfrac{x^2}{2}+y^2=1 \right \} ή η ημιτονοειδής \displaystyle \left \{  \left ( x, \sin x\right ) : 0 \leq x \leq 2\pi \} ;



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2591
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: Στο ίδιο μήκος κύματος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Δευ Ιαν 28, 2019 11:54 am

ΙΣΟΜΗΚΕΙΣ: χρησιμοποιώντας τον γνωστό τύπο για μήκος καμπύλης L=\displaystyle\int_{a}^{b}\sqrt{1+f'(x)^2}dx} και ιδιότητες των δύο καμπύλων, y=\pm\sqrt{1-\dfrac{x^2}{2}} και y=sinx, βλέπουμε ότι αρκεί να δειχθεί η ισότητα

\displaystyle\int_{0}^{\sqrt{2}}\sqrt{\dfrac{4-x^2}{4-2x^2}}dx}=\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\sqrt{1+cos^2x}dx},

κάτι που επιτυγχάνεται άμεσα μέσω της αντικατάστασης x=\sqrt{2}sin\theta στο πρώτο ολοκλήρωμα.


ισομήκεις.png
ισομήκεις.png (9.55 KiB) Προβλήθηκε 304 φορές


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 816
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Στο ίδιο μήκος κύματος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Δευ Ιαν 28, 2019 4:39 pm

gbaloglou έγραψε:
Δευ Ιαν 28, 2019 11:54 am
ΙΣΟΜΗΚΕΙΣ: χρησιμοποιώντας τον γνωστό τύπο για μήκος καμπύλης L=\displaystyle\int_{a}^{b}\sqrt{1+f'(x)^2}dx} και ιδιότητες των δύο καμπύλων, y=\pm\sqrt{1-\dfrac{x^2}{2}} και y=sinx, βλέπουμε ότι αρκεί να δειχθεί η ισότητα

\displaystyle\int_{0}^{\sqrt{2}}\sqrt{\dfrac{4-x^2}{4-2x^2}}dx}=\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\sqrt{1+cos^2x}dx},

κάτι που επιτυγχάνεται άμεσα μέσω της αντικατάστασης x=\sqrt{2}sin\theta στο πρώτο ολοκλήρωμα.
ισομήκεις.png
Σωστά κ.Γιώργο. Για να τιμήσουμε και το φάκελο, ας το αφήσουμε και για την γεωμετρική λύση.


Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2591
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: Στο ίδιο μήκος κύματος

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Δευ Ιαν 28, 2019 11:45 pm

Al.Koutsouridis έγραψε:
Δευ Ιαν 28, 2019 4:39 pm
gbaloglou έγραψε:
Δευ Ιαν 28, 2019 11:54 am
ΙΣΟΜΗΚΕΙΣ: χρησιμοποιώντας τον γνωστό τύπο για μήκος καμπύλης L=\displaystyle\int_{a}^{b}\sqrt{1+f'(x)^2}dx} και ιδιότητες των δύο καμπύλων, y=\pm\sqrt{1-\dfrac{x^2}{2}} και y=sinx, βλέπουμε ότι αρκεί να δειχθεί η ισότητα

\displaystyle\int_{0}^{\sqrt{2}}\sqrt{\dfrac{4-x^2}{4-2x^2}}dx}=\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\sqrt{1+cos^2x}dx},

κάτι που επιτυγχάνεται άμεσα μέσω της αντικατάστασης x=\sqrt{2}sin\theta στο πρώτο ολοκλήρωμα.
ισομήκεις.png
Σωστά κ.Γιώργο. Για να τιμήσουμε και το φάκελο, ας το αφήσουμε και για την γεωμετρική λύση.
Αλέξανδρε ας θεωρηθεί αδέξια επαναφορά η συνεισφορά μου ;)


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2591
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: Στο ίδιο μήκος κύματος

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Κυρ Φεβ 17, 2019 8:21 am

gbaloglou έγραψε:
Δευ Ιαν 28, 2019 11:45 pm
Al.Koutsouridis έγραψε:
Δευ Ιαν 28, 2019 4:39 pm
gbaloglou έγραψε:
Δευ Ιαν 28, 2019 11:54 am
ΙΣΟΜΗΚΕΙΣ: χρησιμοποιώντας τον γνωστό τύπο για μήκος καμπύλης L=\displaystyle\int_{a}^{b}\sqrt{1+f'(x)^2}dx} και ιδιότητες των δύο καμπύλων, y=\pm\sqrt{1-\dfrac{x^2}{2}} και y=sinx, βλέπουμε ότι αρκεί να δειχθεί η ισότητα

\displaystyle\int_{0}^{\sqrt{2}}\sqrt{\dfrac{4-x^2}{4-2x^2}}dx}=\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\sqrt{1+cos^2x}dx},

κάτι που επιτυγχάνεται άμεσα μέσω της αντικατάστασης x=\sqrt{2}sin\theta στο πρώτο ολοκλήρωμα.
ισομήκεις.png
Σωστά κ.Γιώργο. Για να τιμήσουμε και το φάκελο, ας το αφήσουμε και για την γεωμετρική λύση.
Αλέξανδρε ας θεωρηθεί αδέξια επαναφορά η συνεισφορά μου ;)
Επίσημη πλέον επαναφορά ... τρεις μήνες μετά την αρχική ανάρτηση!


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 816
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Στο ίδιο μήκος κύματος

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Κυρ Φεβ 17, 2019 6:21 pm

Υπόδειξη :D :
Τυλίξτε ένα παριζάκι με μια κόλλα χαρτί (μερικές φορές) και κόψτε το εγκάρσια υπό 45 μοίρες προς τον άξονα του. Ξετυλίξτε το χαρτί. Τι παρατηρείτε;


Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2591
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: Στο ίδιο μήκος κύματος

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Τρί Φεβ 19, 2019 10:09 pm

Al.Koutsouridis έγραψε:
Κυρ Φεβ 17, 2019 6:21 pm
Υπόδειξη :D :
Τυλίξτε ένα παριζάκι με μια κόλλα χαρτί (μερικές φορές) και κόψτε το εγκάρσια υπό 45 μοίρες προς τον άξονα του. Ξετυλίξτε το χαρτί. Τι παρατηρείτε;
Εγώ πάλι θα πρότεινα να κρατήσουν το χαρτί για τις εξισώσεις ... και απλώς να κυλίσουν το κομμένο παριζάκι ;)


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης