Στο ίδιο μήκος κύματος

Συντονιστές: vittasko, silouan, Doloros

Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 942
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Στο ίδιο μήκος κύματος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Σάβ Νοέμ 17, 2018 1:05 pm

Με αφορμή το πρόβλημα που έθεσε ο κ.Τσιάλας από τις κορεάτικες εισαγωγικές εδώ.

Ποιά από τις παρακάτω δυο καμπύλες έχει μεγαλύτερο μήκος: η έλλειψη \displaystyle \left \{  \left ( x,y \right ) : \dfrac{x^2}{2}+y^2=1 \right \} ή η ημιτονοειδής \displaystyle \left \{  \left ( x, \sin x\right ) : 0 \leq x \leq 2\pi \} ;



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2647
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: Στο ίδιο μήκος κύματος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Δευ Ιαν 28, 2019 11:54 am

ΙΣΟΜΗΚΕΙΣ: χρησιμοποιώντας τον γνωστό τύπο για μήκος καμπύλης L=\displaystyle\int_{a}^{b}\sqrt{1+f'(x)^2}dx} και ιδιότητες των δύο καμπύλων, y=\pm\sqrt{1-\dfrac{x^2}{2}} και y=sinx, βλέπουμε ότι αρκεί να δειχθεί η ισότητα

\displaystyle\int_{0}^{\sqrt{2}}\sqrt{\dfrac{4-x^2}{4-2x^2}}dx}=\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\sqrt{1+cos^2x}dx},

κάτι που επιτυγχάνεται άμεσα μέσω της αντικατάστασης x=\sqrt{2}sin\theta στο πρώτο ολοκλήρωμα.


ισομήκεις.png
ισομήκεις.png (9.55 KiB) Προβλήθηκε 753 φορές


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 942
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Στο ίδιο μήκος κύματος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Δευ Ιαν 28, 2019 4:39 pm

gbaloglou έγραψε:
Δευ Ιαν 28, 2019 11:54 am
ΙΣΟΜΗΚΕΙΣ: χρησιμοποιώντας τον γνωστό τύπο για μήκος καμπύλης L=\displaystyle\int_{a}^{b}\sqrt{1+f'(x)^2}dx} και ιδιότητες των δύο καμπύλων, y=\pm\sqrt{1-\dfrac{x^2}{2}} και y=sinx, βλέπουμε ότι αρκεί να δειχθεί η ισότητα

\displaystyle\int_{0}^{\sqrt{2}}\sqrt{\dfrac{4-x^2}{4-2x^2}}dx}=\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\sqrt{1+cos^2x}dx},

κάτι που επιτυγχάνεται άμεσα μέσω της αντικατάστασης x=\sqrt{2}sin\theta στο πρώτο ολοκλήρωμα.
ισομήκεις.png
Σωστά κ.Γιώργο. Για να τιμήσουμε και το φάκελο, ας το αφήσουμε και για την γεωμετρική λύση.


Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2647
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: Στο ίδιο μήκος κύματος

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Δευ Ιαν 28, 2019 11:45 pm

Al.Koutsouridis έγραψε:
Δευ Ιαν 28, 2019 4:39 pm
gbaloglou έγραψε:
Δευ Ιαν 28, 2019 11:54 am
ΙΣΟΜΗΚΕΙΣ: χρησιμοποιώντας τον γνωστό τύπο για μήκος καμπύλης L=\displaystyle\int_{a}^{b}\sqrt{1+f'(x)^2}dx} και ιδιότητες των δύο καμπύλων, y=\pm\sqrt{1-\dfrac{x^2}{2}} και y=sinx, βλέπουμε ότι αρκεί να δειχθεί η ισότητα

\displaystyle\int_{0}^{\sqrt{2}}\sqrt{\dfrac{4-x^2}{4-2x^2}}dx}=\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\sqrt{1+cos^2x}dx},

κάτι που επιτυγχάνεται άμεσα μέσω της αντικατάστασης x=\sqrt{2}sin\theta στο πρώτο ολοκλήρωμα.
ισομήκεις.png
Σωστά κ.Γιώργο. Για να τιμήσουμε και το φάκελο, ας το αφήσουμε και για την γεωμετρική λύση.
Αλέξανδρε ας θεωρηθεί αδέξια επαναφορά η συνεισφορά μου ;)


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2647
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: Στο ίδιο μήκος κύματος

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Κυρ Φεβ 17, 2019 8:21 am

gbaloglou έγραψε:
Δευ Ιαν 28, 2019 11:45 pm
Al.Koutsouridis έγραψε:
Δευ Ιαν 28, 2019 4:39 pm
gbaloglou έγραψε:
Δευ Ιαν 28, 2019 11:54 am
ΙΣΟΜΗΚΕΙΣ: χρησιμοποιώντας τον γνωστό τύπο για μήκος καμπύλης L=\displaystyle\int_{a}^{b}\sqrt{1+f'(x)^2}dx} και ιδιότητες των δύο καμπύλων, y=\pm\sqrt{1-\dfrac{x^2}{2}} και y=sinx, βλέπουμε ότι αρκεί να δειχθεί η ισότητα

\displaystyle\int_{0}^{\sqrt{2}}\sqrt{\dfrac{4-x^2}{4-2x^2}}dx}=\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\sqrt{1+cos^2x}dx},

κάτι που επιτυγχάνεται άμεσα μέσω της αντικατάστασης x=\sqrt{2}sin\theta στο πρώτο ολοκλήρωμα.
ισομήκεις.png
Σωστά κ.Γιώργο. Για να τιμήσουμε και το φάκελο, ας το αφήσουμε και για την γεωμετρική λύση.
Αλέξανδρε ας θεωρηθεί αδέξια επαναφορά η συνεισφορά μου ;)
Επίσημη πλέον επαναφορά ... τρεις μήνες μετά την αρχική ανάρτηση!


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 942
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Στο ίδιο μήκος κύματος

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Κυρ Φεβ 17, 2019 6:21 pm

Υπόδειξη :D :
Τυλίξτε ένα παριζάκι με μια κόλλα χαρτί (μερικές φορές) και κόψτε το εγκάρσια υπό 45 μοίρες προς τον άξονα του. Ξετυλίξτε το χαρτί. Τι παρατηρείτε;


Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2647
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: Στο ίδιο μήκος κύματος

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Τρί Φεβ 19, 2019 10:09 pm

Al.Koutsouridis έγραψε:
Κυρ Φεβ 17, 2019 6:21 pm
Υπόδειξη :D :
Τυλίξτε ένα παριζάκι με μια κόλλα χαρτί (μερικές φορές) και κόψτε το εγκάρσια υπό 45 μοίρες προς τον άξονα του. Ξετυλίξτε το χαρτί. Τι παρατηρείτε;
Εγώ πάλι θα πρότεινα να κρατήσουν το χαρτί για τις εξισώσεις ... και απλώς να κυλίσουν το κομμένο παριζάκι ;)


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2647
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: Στο ίδιο μήκος κύματος

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Πέμ Φεβ 21, 2019 4:09 pm

Γενικότερα, αν ο κύλινδρος (x, cos\theta, sin\theta) τμηθεί 'συμμετρικά' από επίπεδο που σχηματίζει γωνία \phi με τον άξονα του, τότε η προκύπτουσα τομή είναι έλλειψη με μήκος περιφέρειας ίσο προς αυτό της ημιτονοειδούς καμπύλης x=\dfrac{siny}{tan\phi} από 0 έως 2\pi.

Πράγματι, αρκεί να παρατηρηθεί ότι η τομή του παραπάνω κυλίνδρου (ακτίνας 1 και άξονα ταυτιζόμενου με τον άξονα των x) με το παραπάνω επίπεδο είναι η (x, \sqrt{1-(tan\phi)^2x^2}, (tan\phi)x), όπου -\dfrac{1}{sin\phi}\leq x\leq \dfrac{1}{sin\phi}, οπότε ... κυλίοντας τον κύλινδρο παράλληλα προς τον άξονα των x και κάθετα προς τον άξονα των y ... η απόσταση που χρειάζεται να διανύσει το τυχόν σημείο (x_0, \sqrt{1-(tan\phi)^2x_0^2}, (tan\phi)x_0) της τομής ώσπου να 'προσγειωθεί' στο επίπεδο z=0 είναι ίση προς το μήκος του τόξου από το σημείο αυτό μέχρι το (x_0, 0, 0) επί του κύκλου-τομής του κυλίνδρου και του επιπέδου x=x_0, ίση δηλαδή προς

y_0=\displaystyle tan^{-1}\left(\dfrac{(tan\phi)x_0}{\sqrt{1-(tan\phi)^2x_0^2}}\right)=sin^{-1}\left((tan\phi)x_0)\right).

[Τα παραπάνω επαληθεύει ο Λογισμός, καθώς το μεν μήκος της ελλειπτικής τομής (sin\phi)^2x^2+y^2=1 ισούται προς 4\displaystyle\int_{0}^{1/sin\phi}\sqrt{\dfrac{1-(sin^2\phi-sin^4\phi)x^2}{1-(sin^2\phi)x^2}}dx, το δε μήκος της ημιτονοειδούς x=\dfrac{siny}{tan\phi} ισούται προς 4\displaystyle\int_{0}^{\pi /2}\sqrt{1+\dfrac{cos^2y}{tan^2\phi}}dy. (Η ισότητα των δύο ολοκληρωμάτων καταδεικνύεται μέσω της αντικατάστασης x=\dfrac{siny}{sin\phi} μόνον στην περίπτωση \phi=\pi /4 (αρχικό πρόβλημα, βλέπε και πρώτη μου δημοσίευση εδώ), επαληθεύεται όμως αριθμητικά -- και όχι μόνον, κρίνοντας από την απάντηση του WolframAlpha -- για οποιαδήποτε τιμή της γωνίας τομής \phi, στην περίπτωση \phi=\pi /3 για παράδειγμα ισχύει η \displaystyle \int_{0}^{2/\sqrt{3}}\sqrt{\dfrac{16-3x^2}{16-12x^2}}dx=\int_{0}^{\pi /2}\sqrt{1+\dfrac{cos^2y}{3}}dy\approx 1,69448.)]
τελευταία επεξεργασία από gbaloglou σε Σάβ Φεβ 23, 2019 8:21 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 942
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Στο ίδιο μήκος κύματος

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Πέμ Φεβ 21, 2019 8:46 pm

Η γεωμετρική απόδειξη (δεύτερη σελίδα) των παραπάνω αποτελεσμάτων καθώς και άλλων πιο γενικών, μπορεί κανείς να βρει στο άρθρο των Apostol, Mnatsakanian "Ξετυλίγοντας καμπύλες από κυλίνδρους και κώνους".


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης