mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Νοέμ 12, 2018 9:19 pm**

Ο εγγεγραμμένος κύκλος του σκαληνού τριγώνου ABC

εφάπτεται των πλευρών

,

στα σημεία $A_{1}$ , $B_{1}$ , $C_{1}$ αντίστοιχα.
Η κάθετος της $C_{1}B_{1}$ που άγεται από το $A_{1}$ τέμνει την

στο σημείο

. Οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων ABC

και $AB_{1}C_{1}$
τέμνονται για δεύτερη φορά στο σημείο

.
Να αποδείξετε ότι $\angle XZC_{1}\,=\,90^{\circ}$ .

: ορθη.png (60.56 KiB) Προβλήθηκε 1504 φορές

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Νοέμ 12, 2018 10:26 pm**

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Νοέμ 12, 2018 11:47 pm**

Υποθέτω ότι αυτή υπάρχει και στο βιβλίο:Αν η πολική του

ως προς τον εγγεγραμμένο είναι η

,είναι φανερό ότι περνάει απ'το

και ότι τέμνει καθέτως τη

(

το κέντρο του εγγεγραμμένου).Αν

η τομή των ευθειών αυτών,το

είναι το αντίστροφο του

ως προς τον (I)

.Αντιστρέφοντας ως προς αυτόν τον κύκλο,το εγγράψιμο XX'DC1

[λόγω καθετοτήτων(

προβολή του

στην

)] πάει στο XX'ZC1

και το ζητούμενο έπεται..

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Φεβ 06, 2023 5:11 pm**

Έστω

το σημείο στο οποίο η κάθετη στην $B_{1}C_{1}$ από το $A_{1},$ την τέμνει. Είναι:

$\angle C_{1}ZB=\angle BZC-\angle C_{1}ZC=\angle B_{1}ZC_{1}-\angle C_{1}ZC=\angle B_{1}ZC$

$\angle ZBC_{1}=\angle ZBA=\angle ZCA=\angle ZCB_{1}$

Άρα $\vartriangle BZC_{1}\sim \vartriangle CZB_{1}$

Δηλαδή $\displaystyle \frac{ZB_{1}}{ZC_{1}}=\frac{CB_{1}}{BC_{1}}=\frac{CA_{1}}{BA_{1}}=\frac{KB_{1}}{KC_{1}}$

Οπότε

διχοτόμος της γωνίας $\angle B_{1}ZC_{1}$ κι έτσι $\displaystyle \angle C_{1}ZK=\frac{\angle C_{1}ZB_{1}}{2}=\frac{\angle A}{2}=\angle C_{1}XK$

Οπότε $ZXKC_{1}$ εγγράψιμο και άρα $\angle XZC_{1}=\angle XKB_{1}=90^\circ$

Νομίζω ότι είναι ιδιαίτερα απλή λύση!

mathematica.gr

Και πάλι ορθή γωνία

Και πάλι ορθή γωνία

Re: Και πάλι ορθή γωνία

Re: Και πάλι ορθή γωνία

Re: Και πάλι ορθή γωνία