Κυρτό εξάγωνο και συντρέχειες.

#1

Εάν σε ένα κυρτό εξάγωνο τα σημεία τομής των ευθειών δύο ζευγών απέναντι πλευρών του ανήκουν στις ευθείες δύο από τις κύριες διαγώνιές του, τότε και το σημείο τομής των ευθειών του τρίτου ζεύγους απέναντι πλευρών, ανήκει στην ευθεία της τρίτης κύριας διαγώνιας του δοσμένου εξαγώνου.

: Κυρτό εξάγωνο και συντρέχειες.; f185 t62900.png (14.99 KiB) Προβλήθηκε 1256 φορές

Κώστας Βήττας.

min## · #2

Μια λύση με κουνήματα(

):
Σταθεροποιώ αρχικά τη δέσμη ευθειών που διέρχεται από το

και παίρνω σημεία A,B,C,D

όπως στο σχήμα(σταθερά).Παίρνω ως (σταθερό)

την τομή

και παίρνω μεταβλητό σημείο

στην

,ενώ ορίζω το

ως την τομή της

με την

.(Με άλλα λόγια "αντιστρέφω'' την κατασκευή του σχήματος).
Τώρα,καθώς το

μεταβάλλεται,ορίζει ίσους διπλούς λόγους στην

με το

στην

,αφού το

αποτελεί προβολή του

με κέντρο

.Άρα και οι A(F),B(E)

(καθώς το

κινείται) θα έχουν ίσους διπλούς λόγους.Όταν το

πέσει στο

,θα συμπέσει και το

,οπότε οι παραπάνω δέσμες έχουν κοινή ακτίνα,δηλαδή είναι προοπτικές,δηλαδή οι τομές των AF,BE

κείτονται σε σταθερή ευθεία.Με απλό έλεγχο θέσης,για $E\equiv D,F\equiv C$ (δύο περιπτώσεις),η ευθεία αυτή είναι η

και το ζητούμενο έπεται...

: Vittas12.png (29.72 KiB) Προβλήθηκε 1236 φορές

#3

vittasko έγραψε: ↑
Τρί Οκτ 30, 2018 1:08 pm
Εάν σε ένα κυρτό εξάγωνο τα σημεία τομής των ευθειών δύο ζευγών απέναντι πλευρών του ανήκουν στις ευθείες δύο από τις κύριες διαγώνιές του, τότε και το σημείο τομής των ευθειών του τρίτου ζεύγους απέναντι πλευρών, ανήκει στην ευθεία της τρίτης κύριας διαγώνιας του δοσμένου εξαγώνου.

Κώστας Βήττας.

Αυτό Κώστα, είναι το δυϊκό του Πάππου και η απόδειξη έγινε.

Επιπλέον, αν δούμε το σχήμα προσεκτικά, αποδεικνύουμε ότι: αν δύο τρίγωνα είναι διπλώς προοπτικά (εδώ ως προς σημεία), τότε είναι και τριπλώς προοπτικά.

#4

$\bullet$ Έστω τα σημεία $K\equiv AF\cap BC$ και $L\equiv AB\cap CD$ και $X\equiv DF\cap KL$ .

Επί των ευθειών $AF,\ CD$ θεωρούμε τις τριάδες των σημείων $K,\ A,\ F$ και $D,\ C,\ L$ αντιστοίχως και σύμφωνα με το Θεώρημα Πάππου, έχουμε ότι τα σημεία $T\equiv KC\cap DA$ και $X\equiv KL\cap DF$ και $S\equiv AL\cap CF$ είναι συνευθειακά.

: Κυρτό εξάγωνο και συντρέχειες.; f185 t62900(a).png (19.2 KiB) Προβλήθηκε 1112 φορές

$\bullet$ Από $X\equiv KL\cap FD\cap ST$ τώρα, σύμφωνα με το Θεώρημα Desarques, προκύπτει ότι τα τρίγωνα $\vartriangle KFT,\ \vartriangle LDS$ είναι προοπτικά.

Από την προοπτικότητα των ως άνω τριγώνων, συμπεραίνεται ότι τα σημεία $R\equiv KF\cap LD$ και $B\equiv KT\cap LS$ και $E\equiv FT\cap DS$ είναι συνευθειακά και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Κώστας Βήττας.

#5

vittasko έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 04, 2018 11:04 am
$\bullet$ Έστω τα σημεία $K\equiv AF\cap BC$ και $L\equiv AB\cap CD$ και $X\equiv DF\cap KL$ .

Επί των ευθειών $AF,\ CD$ θεωρούμε τις τριάδες των σημείων $K,\ A,\ F$ και $D,\ C,\ L$ αντιστοίχως και σύμφωνα με το Θεώρημα Πάππου, έχουμε ότι τα σημεία $T\equiv KC\cap DA$ και $X\equiv KL\cap DF$ και $S\equiv AL\cap CF$ είναι συνευθειακά.
f185 t62900(a).png
$\bullet$ Από $X\equiv KL\cap FD\cap ST$ τώρα, σύμφωνα με το Θεώρημα Desarques, προκύπτει ότι τα τρίγωνα $\vartriangle KFT,\ \vartriangle LDS$ είναι προοπτικά.

Από την προοπτικότητα των ως άνω τριγώνων, συμπεραίνεται ότι τα σημεία $R\equiv KF\cap LD$ και $B\equiv KT\cap LS$ και $E\equiv FT\cap DS$ είναι συνευθειακά και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Κώστας Βήττας.

Τίποτα λιγότερο!!!!

Κυρτό εξάγωνο και συντρέχειες.

Κυρτό εξάγωνο και συντρέχειες.

Re: Κυρτό εξάγωνο και συντρέχειες.

Re: Κυρτό εξάγωνο και συντρέχειες.

Re: Κυρτό εξάγωνο και συντρέχειες.

Re: Κυρτό εξάγωνο και συντρέχειες.

Μέλη σε σύνδεση