Κυρτό εξάγωνο και συντρέχειες.

Συντονιστές: vittasko, silouan, Doloros

vittasko
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2011
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.

Κυρτό εξάγωνο και συντρέχειες.

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από vittasko » Τρί Οκτ 30, 2018 1:08 pm

Εάν σε ένα κυρτό εξάγωνο τα σημεία τομής των ευθειών δύο ζευγών απέναντι πλευρών του ανήκουν στις ευθείες δύο από τις κύριες διαγώνιές του, τότε και το σημείο τομής των ευθειών του τρίτου ζεύγους απέναντι πλευρών, ανήκει στην ευθεία της τρίτης κύριας διαγώνιας του δοσμένου εξαγώνου.
f185 t62900.png
Κυρτό εξάγωνο και συντρέχειες.
f185 t62900.png (14.99 KiB) Προβλήθηκε 394 φορές
Κώστας Βήττας.



Λέξεις Κλειδιά:
min##
Δημοσιεύσεις: 148
Εγγραφή: Τρί Απρ 18, 2017 3:40 pm

Re: Κυρτό εξάγωνο και συντρέχειες.

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από min## » Τρί Οκτ 30, 2018 3:27 pm

Μια λύση με κουνήματα( :P ):
Σταθεροποιώ αρχικά τη δέσμη ευθειών που διέρχεται από το S και παίρνω σημεία A,B,C,D όπως στο σχήμα(σταθερά).Παίρνω ως (σταθερό) T την τομή AD,BC και παίρνω μεταβλητό σημείο E στην SD
,ενώ ορίζω το Fως την τομή της TE με την SC.(Με άλλα λόγια "αντιστρέφω'' την κατασκευή του σχήματος).
Τώρα,καθώς το E μεταβάλλεται,ορίζει ίσους διπλούς λόγους στην SD με το F στην SC,αφού το F
αποτελεί προβολή του E με κέντρο T.Άρα και οι A(F),B(E) (καθώς το E κινείται) θα έχουν ίσους διπλούς λόγους.Όταν το E πέσει στο S,θα συμπέσει και το F,οπότε οι παραπάνω δέσμες έχουν κοινή ακτίνα,δηλαδή είναι προοπτικές,δηλαδή οι τομές των AF,BE κείτονται σε σταθερή ευθεία.Με απλό έλεγχο θέσης,για E\equiv D,F\equiv C(δύο περιπτώσεις),η ευθεία αυτή είναι η CD και το ζητούμενο έπεται...
Vittas12.png
Vittas12.png (29.72 KiB) Προβλήθηκε 374 φορές


Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1695
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: Κυρτό εξάγωνο και συντρέχειες.

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Τρί Οκτ 30, 2018 6:41 pm

vittasko έγραψε:
Τρί Οκτ 30, 2018 1:08 pm
Εάν σε ένα κυρτό εξάγωνο τα σημεία τομής των ευθειών δύο ζευγών απέναντι πλευρών του ανήκουν στις ευθείες δύο από τις κύριες διαγώνιές του, τότε και το σημείο τομής των ευθειών του τρίτου ζεύγους απέναντι πλευρών, ανήκει στην ευθεία της τρίτης κύριας διαγώνιας του δοσμένου εξαγώνου.

Κώστας Βήττας.
Αυτό Κώστα, είναι το δυϊκό του Πάππου και η απόδειξη έγινε.

Επιπλέον, αν δούμε το σχήμα προσεκτικά, αποδεικνύουμε ότι: αν δύο τρίγωνα είναι διπλώς προοπτικά (εδώ ως προς σημεία), τότε είναι και τριπλώς προοπτικά.


vittasko
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2011
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.

Re: Κυρτό εξάγωνο και συντρέχειες.

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από vittasko » Κυρ Νοέμ 04, 2018 11:04 am

\bullet Έστω τα σημεία K\equiv AF\cap BC και L\equiv AB\cap CD και X\equiv DF\cap KL .

Επί των ευθειών AF,\ CD θεωρούμε τις τριάδες των σημείων K,\ A,\ F και D,\ C,\ L αντιστοίχως και σύμφωνα με το Θεώρημα Πάππου, έχουμε ότι τα σημεία T\equiv KC\cap DA και X\equiv KL\cap DF και S\equiv AL\cap CF είναι συνευθειακά.
f185 t62900(a).png
Κυρτό εξάγωνο και συντρέχειες.
f185 t62900(a).png (19.2 KiB) Προβλήθηκε 250 φορές
\bullet Από X\equiv KL\cap FD\cap ST τώρα, σύμφωνα με το Θεώρημα Desarques, προκύπτει ότι τα τρίγωνα \vartriangle KFT,\ \vartriangle LDS είναι προοπτικά.

Από την προοπτικότητα των ως άνω τριγώνων, συμπεραίνεται ότι τα σημεία R\equiv KF\cap LD και B\equiv KT\cap LS και E\equiv FT\cap DS είναι συνευθειακά και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Κώστας Βήττας.


Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3844
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Κυρτό εξάγωνο και συντρέχειες.

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Κυρ Νοέμ 04, 2018 9:30 pm

vittasko έγραψε:
Κυρ Νοέμ 04, 2018 11:04 am
\bullet Έστω τα σημεία K\equiv AF\cap BC και L\equiv AB\cap CD και X\equiv DF\cap KL .

Επί των ευθειών AF,\ CD θεωρούμε τις τριάδες των σημείων K,\ A,\ F και D,\ C,\ L αντιστοίχως και σύμφωνα με το Θεώρημα Πάππου, έχουμε ότι τα σημεία T\equiv KC\cap DA και X\equiv KL\cap DF και S\equiv AL\cap CF είναι συνευθειακά.
f185 t62900(a).png
\bullet Από X\equiv KL\cap FD\cap ST τώρα, σύμφωνα με το Θεώρημα Desarques, προκύπτει ότι τα τρίγωνα \vartriangle KFT,\ \vartriangle LDS είναι προοπτικά.

Από την προοπτικότητα των ως άνω τριγώνων, συμπεραίνεται ότι τα σημεία R\equiv KF\cap LD και B\equiv KT\cap LS και E\equiv FT\cap DS είναι συνευθειακά και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Κώστας Βήττας.
:coolspeak: Τίποτα λιγότερο!!!!


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης