Ορθή γωνία

Συντονιστές: vittasko, silouan, Doloros

giannimani
Δημοσιεύσεις: 104
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 6:26 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Ορθή γωνία

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από giannimani » Παρ Οκτ 26, 2018 2:38 pm

Στις πλευρές BC, CA, AB ενός οξυγώνιου μη ισοσκελούς τριγώνου ABC θεωρούμε αντίστοιχα τα
σημεία A_{1}, B_{1}, C_{1} έτσι, ώστε \angle AA_{1}B= \angle BB_{1}C=\angle CC_{1}A
Έστω ότι οι κύκλοι (BA_{1}C_{1}) και (CA_{1}B_{1}) τέμνονται στο σημείο P. Να αποδείξετε ότι \angle HPG = 90^{\circ}, όπου H και G είναι
αντίστοιχα το ορθόκεντρο και το βαρύκεντρο του τριγώνου ABC.
Συνημμένα
exerP.png
exerP.png (89.84 KiB) Προβλήθηκε 395 φορές



Λέξεις Κλειδιά:
min##
Δημοσιεύσεις: 207
Εγγραφή: Τρί Απρ 18, 2017 3:40 pm

Re: Ορθή γωνία

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από min## » Παρ Οκτ 26, 2018 9:10 pm

Πολύ ωραίο.
Λύση με γωνίες:
Έστω Z\equiv CC1\cap BB1,X\equiv AA1\cap BB1,Y\equiv AA1\cap CC1.Δεν είναι δύσκολο να δει κανείς ότι BZHC,AYHC,AHXB
εγγράψιμα.
Θα δείξω πρώτα ότι (B1,Z,Ma,C1,A),(B1,X,Mc,A1,C),(C1,Y,Mb,A1,B) ομοκυκλικές 5αδες,με Ma,Mb,Mc τις τομές των αντίστοιχων διαμέσων του ABC με τους (BHC),(CHA),(AHB).Στο πρώτο σχήμα είναι γνωστό ότι ο (BHC) έχει ίση ακτίνα με τον (ABC).Έτσι,εκμεταλλευόμενος τη συμμετρία ως προς M(μέσο BC) δείχνω ότι λόγω HCA'\angle =HCB\angle +BCA'\angle =HCB\angle +B\angle =90(A' συμ. του A ως προς M),HMaA\angle =90.Έπειτα,AMaZ\angle+AB1Z\angle =90+HCZ\angle+AB1Z\angle =90+HBZ\angle +AB1Z\angle και το "λήμμα" ισχύει.

Τώρα,μένει να δειχτεί ότι και το P ανήκει στον κύκλο διαμέτρου HG(για τα Ma,Mb,Mc αποδείχτηκε ήδη ουσιαστικά).
Είναι CMcP\angle =180-PB1C\angle,δηλαδή HMcP\angle =270-PB1C\angle και PMaH\angle = AMaH\angle -AMaP\angle =90-AMaP\angle και άρα HMcP\angle +PMaH\angle =360-PB1C\angle -AMaP\angle =180,δηάδ'η PMaHMcεγγράψιμο κλπ.
Συνημμένα
giannimanilemma.png
giannimanilemma.png (39.39 KiB) Προβλήθηκε 360 φορές
giannimani.png
giannimani.png (33.2 KiB) Προβλήθηκε 360 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες