Συντρέχουσες Ευθείες
Συντονιστές: vittasko, silouan, Doloros
-
- Δημοσιεύσεις: 233
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 6:26 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Συντρέχουσες Ευθείες
Στο κυρτό τετράπλευρο δίνεται ότι .
Έστω , τα κέντρα των εγγεγραμμένων κύκλων των τριγώνων , αντίστοιχα.
Να αποδείξετε ότι οι ευθείες , , διέρχονται από το ίδιο σημείο.
Έστω , τα κέντρα των εγγεγραμμένων κύκλων των τριγώνων , αντίστοιχα.
Να αποδείξετε ότι οι ευθείες , , διέρχονται από το ίδιο σημείο.
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Συντρέχουσες Ευθείες
(Στο σχήμα έχω αλλάξει λίγο τα γράμματα και είναι .).Αρχικά παίρνω και αν είναι
οι προβολές των στην ,από τη σχέση των πλευρών προκύπτει ότι (απλό).Άρα το παράκεντρο του
ως προς την ,έστω βρίσκεται πάνω στην και ομοίως για το παράκεντρο του ως προς την ,έστω .Θα αποδείξω ότι οι συντρέχουν.
Έστω οι ακτίνες των αντίστοιχα.Αρκεί από αντίστροφο Θαλή .Χρησιμοποιώντας τους τύπους και (με την ημιπερίμετρο του εκάστοτε τριγώνου)
συν τον τύπο του Ήρωνα για ο εμβαδόν τριγώνου,φτάνω στην η οποία ισχύει,αφού από τη δοσμένη σχέση πλευρών κλπ.Άρα, οι συντρέχουν.
Θα δείξω ότι και οι συντρέχουν και θα έχω τελειώσει.
Οι περνούν από τα αντιδιαμετρικά των στους αντίστοιχα,έστω
(γνωστή πρόταση).Από αντίστροφο θαλή(ή ομοιότητες),προκύπτει πως η τέμνει την στο ίδιο σημείο με την ,δηλαδή στο .Αν καταφέρω τώρα να δείξω ότι τα είναι προοπτικά,η θα περνάει από το και θα έχω τελειώσει.
Φέρνω τους παρεγγεγραμμένους με κέντρα τα .
Από Monge-d'Alambert στους παίρνω ότι τα εξωτερικά κέντρα ομοιοθεσίας των ανά 2 κύκλων είναι συνευθειακά.Δηλαδή αν το εξωτερικό κέντρο ομοιοθεσίας των ,τα
θα είναι συνευθειακά.
Από Monge-d'Alambert στους παίρνω ότι τα εξωτερικά κέντρα ομοιοθεσίας των ανά 2 κύκλων είναι συνευθειακά.Δηλαδή τα
θα είναι συνευθειακά.
Από Monge-d'Alambert στους παίρνω ότι τα εξωτερικά κέντρα ομοιοθεσίας των ανά 2 κύκλων είναι συνευθειακά.Δηλαδή αν το εξωτερικό κέντρο ομοιοθεσίας των ,τα
θα είναι συνευθειακά.
Από Monge-d'Alambert στους παίρνω ότι τα εξωτερικά κέντρα ομοιοθεσίας των ανά 2 κύκλων είναι συνευθειακά.Δηλαδή τα
θα είναι συνευθειακά.
Από τη σχέση που έβγαλα στην αρχή,την , προκύπτει από αντίστροφο θαλή (στις προς απόδειξη παράλληλες
και τις αναλογίες των ομοιοθεσιών ότι .Αρκεί όμως τα να είναι προοπτικά,δηλαδή αρκεί συνευθειακά,δηλαδή που ισχύει.Το ζητούμενο δείχτηκε
Edit:σημαντικές αλλαγές που καθιστούν τα άχρηστα...
οι προβολές των στην ,από τη σχέση των πλευρών προκύπτει ότι (απλό).Άρα το παράκεντρο του
ως προς την ,έστω βρίσκεται πάνω στην και ομοίως για το παράκεντρο του ως προς την ,έστω .Θα αποδείξω ότι οι συντρέχουν.
Έστω οι ακτίνες των αντίστοιχα.Αρκεί από αντίστροφο Θαλή .Χρησιμοποιώντας τους τύπους και (με την ημιπερίμετρο του εκάστοτε τριγώνου)
συν τον τύπο του Ήρωνα για ο εμβαδόν τριγώνου,φτάνω στην η οποία ισχύει,αφού από τη δοσμένη σχέση πλευρών κλπ.Άρα, οι συντρέχουν.
Θα δείξω ότι και οι συντρέχουν και θα έχω τελειώσει.
Οι περνούν από τα αντιδιαμετρικά των στους αντίστοιχα,έστω
(γνωστή πρόταση).Από αντίστροφο θαλή(ή ομοιότητες),προκύπτει πως η τέμνει την στο ίδιο σημείο με την ,δηλαδή στο .Αν καταφέρω τώρα να δείξω ότι τα είναι προοπτικά,η θα περνάει από το και θα έχω τελειώσει.
Φέρνω τους παρεγγεγραμμένους με κέντρα τα .
Από Monge-d'Alambert στους παίρνω ότι τα εξωτερικά κέντρα ομοιοθεσίας των ανά 2 κύκλων είναι συνευθειακά.Δηλαδή αν το εξωτερικό κέντρο ομοιοθεσίας των ,τα
θα είναι συνευθειακά.
Από Monge-d'Alambert στους παίρνω ότι τα εξωτερικά κέντρα ομοιοθεσίας των ανά 2 κύκλων είναι συνευθειακά.Δηλαδή τα
θα είναι συνευθειακά.
Από Monge-d'Alambert στους παίρνω ότι τα εξωτερικά κέντρα ομοιοθεσίας των ανά 2 κύκλων είναι συνευθειακά.Δηλαδή αν το εξωτερικό κέντρο ομοιοθεσίας των ,τα
θα είναι συνευθειακά.
Από Monge-d'Alambert στους παίρνω ότι τα εξωτερικά κέντρα ομοιοθεσίας των ανά 2 κύκλων είναι συνευθειακά.Δηλαδή τα
θα είναι συνευθειακά.
Από τη σχέση που έβγαλα στην αρχή,την , προκύπτει από αντίστροφο θαλή (στις προς απόδειξη παράλληλες
και τις αναλογίες των ομοιοθεσιών ότι .Αρκεί όμως τα να είναι προοπτικά,δηλαδή αρκεί συνευθειακά,δηλαδή που ισχύει.Το ζητούμενο δείχτηκε
Edit:σημαντικές αλλαγές που καθιστούν τα άχρηστα...
- Συνημμένα
-
- giannimani12345.png (41.99 KiB) Προβλήθηκε 1226 φορές
-
- Δημοσιεύσεις: 233
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 6:26 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Συντρέχουσες Ευθείες
με τους κύκλους , , και με , τις ημιπεριμέτρους των τριγώνων και αντίστοιχα.
Είναι
Δηλαδή, . Όμοια, .
Αυτό σημαίνει ότι ο παρεγγεγραμμένος κύκλος () του εφάπτεται της στο σημείο , και ο παρεγγεγραμμένος
κύκλος () του εφάπτεται της στο σημείο . Δηλαδή, τα σημεία , και ανήκουν στην ίδια ευθεία, καθώς επίσης
και τα σημεία , και ανήκουν στην ίδια ευθεία. Οι δύο αυτές ευθείες είναι παράλληλες: .
Έστω . Αρχικά θα αποδείξουμε τη σχέση: ,
όπου , , και οι ακτίνες των κύκλων , , και αντίστοιχα.
Η γράφεται
,
η οποία ισχύει λόγω των , (από την προκύπτει ότι οι ευθείες , και
διέρχονται από το σημείο ).
Θεωρούμε τις ομοιοθεσίες: κέντρου και λόγου (μετασχηματίζει τον κύκλο στον ),
κέντρου και λόγου (μετασχηματίζει τον κύκλο στον ), και κέντρου και λόγου
(μετασχηματίζει τον κύκλο στον ).
Θα προσδιορίσουμε το κέντρο και το λόγο της σύνθεσης (μετασχηματίζει τον κύκλο στον ).
Πρώτα η σύνθεση είναι ως γνωστό ομοιοθεσία με λόγο , και το κέντρο της ανήκει στην ευθεία .
Εφόσον, , το κέντρο της θα ανήκει και στην ευθεία είναι , δηλαδή, .
Όμοια η σύνθεση έχει λόγο , και το κέντρο της θα ανήκει στην ευθεία .
Εφόσον, , τότε το κέντρο της θα είναι η τομή των ευθεών και , και .
Αλλά και (από την ομοιότητα των ορθογώνιων τριγώνων και ). Από τις δύο τελευταίες
ισότητες προκύπτει ότι , δηλαδή, τελικά τα τρία σημεία , και ανήκουν στην ίδια ευθεία.
Υ.Γ. Αυτή η λύση διαφοροποιείται από την προηγούμενη μόνο στο δεύτερο μέρος της.
Re: Συντρέχουσες Ευθείες
Μια αρκετά σύντομη:Η συνθήκη σημαίνει πως υπάρχει παρεγγεγραμμένος κύκλος του τετραπλεύρου έστω (εντός της γωνίας ή )
.Από Monge-D'alembert τα ανά δύο κέντρα ομοιοθεσίας των είναι συνευθειακά,δηλαδή τα είναι συνευθειακά και το ζητούμενο δείχτηκε.
.Από Monge-D'alembert τα ανά δύο κέντρα ομοιοθεσίας των είναι συνευθειακά,δηλαδή τα είναι συνευθειακά και το ζητούμενο δείχτηκε.
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3341
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: Συντρέχουσες Ευθείες
Ημιτελής προσέγγιση με Αναλυτική:
Καθιστούμε την τομή των διαγωνίων αρχή των αξόνων, οπότε υπάρχουν πραγματικοί τέτοιοι ώστε Χρησιμοποιώντας τον τύπο για τις συντεταγμένες του έγκεντρου ... συμπεραίνουμε, χωρίς απαγορευτικά πολλές πράξεις, ότι το ζητούμενο του προβλήματος είναι ισοδύναμο προς την συνεπαγωγή
Δυστυχώς (ή ... ευτυχώς) η παραπάνω συνεπαγωγή δεν αποδεικνύεται εύκολα^ την αφήνω εδώ και βλέπουμε...
[Η δυσκολία εύρεσης απόδειξης με Αναλυτική ... μας δίνει πάντα και το μέτρο δυσκολίας ενός γεωμετρικού προβλήματος, εννοείται!]
Καθιστούμε την τομή των διαγωνίων αρχή των αξόνων, οπότε υπάρχουν πραγματικοί τέτοιοι ώστε Χρησιμοποιώντας τον τύπο για τις συντεταγμένες του έγκεντρου ... συμπεραίνουμε, χωρίς απαγορευτικά πολλές πράξεις, ότι το ζητούμενο του προβλήματος είναι ισοδύναμο προς την συνεπαγωγή
Δυστυχώς (ή ... ευτυχώς) η παραπάνω συνεπαγωγή δεν αποδεικνύεται εύκολα^ την αφήνω εδώ και βλέπουμε...
[Η δυσκολία εύρεσης απόδειξης με Αναλυτική ... μας δίνει πάντα και το μέτρο δυσκολίας ενός γεωμετρικού προβλήματος, εννοείται!]
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες