Απλά επιπεδομετρία

Συντονιστές: vittasko, silouan, Doloros

Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 771
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Απλά επιπεδομετρία

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Κυρ Σεπ 16, 2018 4:03 pm

Δίνεται τρίγωνο ABC και έστω K το σημείο επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου του με την πλευρά BC. Εξετάζουμε δυο κύλους, που εφάπτονται της ευθείας BC, της ημιευθείας AK και του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου ABC (βλέπε σχήμα). Να αποδείξετε, ότι οι ακτίνες τους είναι ίσες.

apla_epipedometria.png
apla_epipedometria.png (15.63 KiB) Προβλήθηκε 439 φορές


Πηγή: "Μαθηματική Εκπαίδευση" σειρά 3, τεύχος 1, 1997 (κράτησα το τίτλο της πηγής).



Λέξεις Κλειδιά:
min##
Δημοσιεύσεις: 132
Εγγραφή: Τρί Απρ 18, 2017 3:40 pm

Re: Απλά επιπεδομετρία

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από min## » Δευ Σεπ 17, 2018 5:08 pm

Έστω O1,O2 το κέντρο του αριστερού και του δεξιού κύκλου αντίστοιχα.Έστω S,S',X οι επαφές του αριστερού με τις BC,AK,(ABC) και αντίστοιχα ορισμένα τα T,T',Y.Από ομοιοθεσία,οι O1X,O2Y τεμνονται στο κέντρο Ο του (ABC),ενώ οι SX,TY στο μέσο M του τόξου BC.Είναι γνωστό (Sawayama-Thebault(δεν μπορούσα να το αποφύγω)) ότι το Α παράκεντρο (Ia)
βρίσκεται πάνω στις SS',TT',O1O2.Η πολική του Ia ως προς τον O2
περνάει από το K,αφού το αντίστροφο είναι δεδομένο.Θα δείξω ότι περνάει και από το I.Από αντίστροφη της σχέσης Newton αρκεί MIa^2=MI^2=Pow(M)_{(O2)},και επειδή η (A,E,I,Ia)(με E τομή AI,BC
) είναι αρμονική και MI=MIa,αρκεί το AEYT να βγει εγγράψιμο,το οποίο είναι άμεσο από EAY\angle =MOY/2\angle =YO2T/2\angle =ETY κλπ.Άρα η KI είναι η πολική του Ia, και άρα O2Ia\equiv O2O1\perp IK\rightarrow O1O2//BC και το ζητούμενο έπεται...
(το σχήμα μου βγαίνει τεράστιο)
Συνημμένα
sawayama.png
sawayama.png (121.96 KiB) Προβλήθηκε 371 φορές


Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2569
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: Απλά επιπεδομετρία

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Τρί Σεπ 25, 2018 3:29 pm

Αν K=(0,0), B=(-b,0), C=(0,c), r η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου και p, q οι ακτίνες των εφαπτόμενων κύκλων, τότε p=q=\dfrac{bc}{r}. Αυτό μπορεί να βοηθήσει στην εύρεση απλούστερης συνθετικής λύσης, και 'φανερώνεται' αναλυτικώς από τις εξισώσεις

\left[\left(\dfrac{\sqrt{r^2(c-b)^2+4b^2c^2}+r(c-b)}{2bc}\right)p-\dfrac{c-b}{2}\right]^2+\left[p+\left(\dfrac{r^2(b+c)^2-(bc-r^2)^2}{4r(bc-r^2)}\right)\right]^2=\left[p+\left(\dfrac{r^2(b+c)^2+(bc-r^2)^2}{4r(bc-r^2)}\right)\right]^2

και

\left[\left(\dfrac{\sqrt{r^2(c-b)^2+4b^2c^2}-r(c-b)}{2bc}\right)q+\dfrac{c-b}{2}\right]^2+\left[q+\left(\dfrac{r^2(b+c)^2-(bc-r^2)^2}{4r(bc-r^2)}\right)\right]^2=\left[q+\left(\dfrac{r^2(b+c)^2+(bc-r^2)^2}{4r(bc-r^2)}\right)\right]^2


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2569
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: Απλά επιπεδομετρία

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Σάβ Σεπ 29, 2018 10:34 pm

Για τους γεωμέτρες που το ξενυχτάνε ... ας αναφέρω ένα επιπλέον στοιχείο που μπορεί να βοηθήσει στην εξεύρεση απλής (;) συνθετικής λύσης ... και που 'φανερώνεται' στην αναλυτική μου προσέγγιση όπως περίπου και η ισότητα p=q=\dfrac{bc}{r} που ήδη ανέφερα: αν M, N τα σημεία επαφής των δύο κύκλων με την βάση BC, τότε |BM|=|CN|.

ΑΠΛΑ.png
ΑΠΛΑ.png (29.54 KiB) Προβλήθηκε 217 φορές


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2569
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: Απλά επιπεδομετρία

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Τρί Οκτ 09, 2018 9:14 pm

Τα σημεία M, N της προηγούμενης δημοσίευσης και τα αντίστοιχα τους των κορυφών B, C ... κείνται επί κωνικής το κέντρο της οποίας αποτελεί νέο 'κέντρο τριγώνου': πολύ πρόσφατο αποτέλεσμα του Cesar Lozada, κάποιες λεπτομέρειες εδώ.

[Με την ευκαιρία, ο Αλέξανδρος με πληροφόρησε ότι η μοναδική συνθετική απόδειξη που έδωσαν οι Ρώσοι προ εικοσαετίας είναι παρόμοια με αυτήν του min##. Έδωσαν επίσης αναλυτική απόδειξη χρησιμοποιώντας σύστημα συντεταγμένων διαφορετικό από το δικό μου.]


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης