ΣΕ ΚΑΘΕ ΜΗ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #1

Άλλο ένα θέμα που προκύπτει από το πρώτο θέμα των εισαγωγικών εξετάσεων Τριγωνομετρίας στους Αγρονόμους-Τοπογράφους του ΕΜΠ το 1962...

Να αποδειχθεί ότι σε κάθε μη ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma }$ αληθεύει η σχέση:

$\displaystyle{2-\frac{\sigma\upsilon\nu (2B-2\Gamma)}{\sigma\upsilon\nu2 A}-\frac{\sigma\upsilon\nu (2\Gamma -2A)}{\sigma\upsilon\nu 2B}-\frac{\sigma\upsilon\nu (2A-2B)}{\sigma\upsilon\nu 2\Gamma}=-\frac{\sigma\upsilon\nu (2A-2B)\sigma\upsilon\nu (2B-2\Gamma)\sigma\upsilon\nu (2\Gamma -2A)}{\sigma\upsilon\nu2 A\sigma\upsilon\nu2 B\sigma\upsilon\nu2 \Gamma}}$ .

Έγινε διόρθωση της ισότητας , στην αρχική δημοσίευση ήμουν πολύ απρόσεκτος....

STOPJOHN · #2

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: ↑
Τετ Σεπ 05, 2018 8:26 am
Άλλο ένα θέμα που προκύπτει από το πρώτο θέμα των εισαγωγικών εξετάσεων Τριγωνομετρίας στους Αγρονόμους-Τοπογράφους του ΕΜΠ το 1962...

Να αποδειχθεί ότι σε κάθε μη ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma }$ αληθεύει η σχέση:

$\displaystyle{2-\frac{\sigma\upsilon\nu (2B-2\Gamma)}{\sigma\upsilon\nu2 A}-\frac{\sigma\upsilon\nu (2\Gamma -2A)}{\sigma\upsilon\nu 2B}-\frac{\sigma\upsilon\nu (2A-2B)}{\sigma\upsilon\nu 2\Gamma}=-\frac{\sigma\upsilon\nu (2A-2B)\sigma\upsilon\nu (2B-2\Gamma)\sigma\upsilon\nu (2\Gamma -2A)}{\sigma\upsilon\nu2 A\sigma\upsilon\nu2 B\sigma\upsilon\nu2 \Gamma}}$ .

Έγινε διόρθωση της ισότητας , στην αρχική δημοσίευση ήμουν πολύ απρόσεκτος....

Θέτουμε
$\hat{x}=2\hat{B}-2\hat{\Gamma },\hat{y}=\hat{2\Gamma }-2\hat{A},\hat{\omega }=2\hat{A}-2\hat{B}$
Συνεπώς $\hat{x}+\hat{y}+\hat{\omega }=0$
Οπότε η αποδεικτέα σχέση γράφεται
$\dfrac{cosx.cosy.cos\omega }{cos2A.cos2B.cos2\Gamma }-\dfrac{cosx}{cos2A}-\dfrac{cosy}{cos2B}-\dfrac{cos\omega }{cos2\Gamma }=-2\Leftrightarrow \dfrac{cos\omega }{cos2\Gamma }(\dfrac{2cosx.cosy}{2cos2A.cos2B}-1)-(\dfrac{2cosx.cos2B+2cosy.cos2A}{2cos2A.cos2B})=-2\Leftrightarrow \dfrac{cos\omega }{cos2\Gamma }(\dfrac{cos(x-y)-cos(2A+2B)}{2cos2A.cos2B})-\dfrac{cos(x+2B)+cos(x-2B)+cos(y+2A)+cos(y-2A)}{2cos(2A)cos2B}=-2\Leftrightarrow 2cos(2A-2B)(2cos^{2}(2A+2B)-1)-cos(2B-2A)).cos4\Gamma -cos(4A+4B)=-2cos2B.cos2A,(*)$

Διευκρινίζεται οτι χρησιμοποίησα τους τύπους
$x-y=360-6\Gamma ,x+2B=4B-2\Gamma ,x-2B=-2\Gamma ,y+2A=2\Gamma ,y-2A=2\Gamma -4A,cos3t=4cos^{3}t-3cost,2B+2A-2\Gamma =360-4\Gamma ,$

Οπότε η (*)

γράφεται

η οποία είναι προφανής

Γιάννης

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #3

Να ευχαριστήσω το συνάδελφο Γιάννη για τη λύση του...
Αν και δημοσίευσα το θέμα στις 5 Σεπτεμβρίου , μόλις σήμερα κατάλαβα πόσο άσχημα είχα γράψει τη διατύπωση...
Και μόλις συνδέθηκα για να γράψω τη σωστή διατύπωση , βλέπω το προσωπικό μήνυμα του Γιάννη που μου υποδείκνυε ό,τι κάτι είχα γράψει λάθος...
Οφείλω να ζητήσω συγνώμη για τη λανθασμένη διατύπωση...
Σε λίγες μέρες θα γράψω τις σκέψεις που με οδήγησαν στη διατύπωση του θέματος , να βρω λίγο χρόνο μόνο...
Πάντως το παλιό θέμα του 1962 είχε ωραίες προεκτάσεις...

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #4

Ας γράψω τον τρόπο με τον οποίον κατέληξα στην ισότητα που πρότεινα.
Mετά από 11 μήνες από τότε που πρότεινα την ισότητα , βρίσκω χρόνο για να παρουσιάσω τις σκέψεις που με οδήγησαν σε αυτήν...
Αναρωτιέμαι πόσοι ενδιαφέρονται να τις δουν...

Όλα ξεκίνησαν από το πρώτο θέμα Τριγωνομετρίας στις εισαγωγικές εξετάσεις των Αγρονόμων - Τοπογράφων Ε.Μ.Π. του 1962.
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 34&t=43169
Ας δούμε την ισότητα αυτή στο ορθικό τρίγωνο του τριγώνου $AB\Gamma .$

Για να μην σας κουράζω , σας παραπέμπω στην παρακάτω δημοσίευση
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 8D#p183812

Εκεί λοιπόν διαπιστώθηκε ότι αν το τρίγωνο $AB\Gamma$ είναι οξυγώνιο τότε

$A_{1}=180^{0}-2A,B_{1}=180^{0}-2B,\Gamma_{1}=180^{0}-2\Gamma$

όπου $A_{1}B_{1}\Gamma_{1}$ το ορθικό τρίγωνο του $AB\Gamma$ .

Συνεπώς $B_{1}-\Gamma _{1}=2\Gamma -2B , \Gamma _{1}-A_{1}=2A-2\Gamma ,A_{1}-B_{1}=2B-2A$

Έτσι η ισότητα του το πρώτου θέματος Τριγωνομετρίας στις εισαγωγικές εξετάσεις των Αγρονόμων - Τοπογράφων Ε.Μ.Π. του 1962 δίνει

$\displaystyle\frac{\sigma \upsilon \nu \left ( A_{1} -B_{1}\right )}{\sigma \upsilon \nu \Gamma _{1}} +\frac{\sigma \upsilon \nu \left ( B_{1} -\Gamma_{1}\right )}{\sigma \upsilon \nu A _{1}}+\frac{\sigma \upsilon \nu \left ( \Gamma_{1} -A_{1}\right )}{\sigma \upsilon \nu B _{1}}+2=$

$\displaystyle\frac{\sigma \upsilon \nu \left ( A_{1} -B_{1}\right )}{\sigma \upsilon \nu \Gamma _{1}}\cdot\frac{\sigma \upsilon \nu \left ( B_{1} -\Gamma_{1}\right )}{\sigma \upsilon \nu A _{1}}\cdot \frac{\sigma \upsilon \nu \left ( \Gamma_{1} -A_{1}\right )}{\sigma \upsilon \nu B _{1}}$

η οποία γράφεται

$\displaystyle\frac{\sigma \upsilon \nu \left ( 2B -2A\right )}{\sigma \upsilon \nu ( 180^{0}-2 \Gamma ) } +\frac{\sigma \upsilon \nu \left ( 2A-2\Gamma\right )}{\sigma \upsilon \nu (180^{0}-2 B)}+\frac{\sigma \upsilon \nu \left ( 2\Gamma-2B\right )}{\sigma \upsilon \nu ( 180^{0}-2 A)}+2=$

$\displaystyle\frac{\sigma \upsilon \nu \left ( 2B -2A\right )}{\sigma \upsilon \nu ( 180^{0}-2 \Gamma ) }\cdot\frac{\sigma \upsilon \nu \left ( 2A-2\Gamma\right )}{\sigma \upsilon \nu (180^{0}-2 B)}\cdot \frac{\sigma \upsilon \nu \left ( 2\Gamma-2B\right )}{\sigma \upsilon \nu ( 180^{0}-2 A)}$

Έτσι έχουμε

$\displaystyle\frac{\sigma \upsilon \nu \left ( 2A -2B\right )}{-\sigma \upsilon \nu 2 \Gamma } +\frac{\sigma \upsilon \nu \left ( 2B-2\Gamma\right )}{-\sigma \upsilon \nu 2 A}+\frac{\sigma \upsilon \nu \left ( 2\Gamma-2A\right )}{-\sigma \upsilon \nu 2B}+2=$

$\displaystyle\frac{\sigma \upsilon \nu \left ( 2A -2B\right )}{-\sigma \upsilon \nu 2 \Gamma } \cdot\frac{\sigma \upsilon \nu \left ( 2B-2\Gamma\right )}{-\sigma \upsilon \nu 2 A}\cdot\frac{\sigma \upsilon \nu \left ( 2\Gamma-2A\right )}{-\sigma \upsilon \nu 2B}$

που είναι η ισότητα που θέλαμε να αποδειχθεί.

Ας δούμε την απόδειξη στην περίπτωση που το τρίγωνο $AB\Gamma$ είναι αμβλυγώνιο με την γωνία

αμβλεία.

Σε αυτήν την περίπτωση ισχύει ότι $A_{1}=2A-180^{0} , B_{1}=2B ,\Gamma _{1}=2\Gamma$

Συνεπώς $A_{1}-B_{1}=2A-180^{0}-2B , B_{1}-\Gamma _{1}=2B-2\Gamma ,\Gamma _{1}-A_{1}=2\Gamma -\left ( 2A-180^{0} \right )=180^{0}-\left ( 2A-2\Gamma \right )$

και έτσι

$\sigma \upsilon \nu \left (A_{1}-B_{1} \right )=\sigma \upsilon \nu \left ( 2A-180^{0}-2B\right )=\sigma \upsilon \nu\left (180^{0}+2A-2B \right )=-\sigma \upsilon \nu\left ( 2A-2B \right )$

$\sigma \upsilon \nu \left ( B_{1} -\Gamma _{1}\right )=\sigma \upsilon \nu \left ( 2B-2\Gamma \right )$

$\sigma \upsilon \nu \left ( \Gamma _{1}-A_{1} \right )=\sigma \upsilon \nu \left ( 2\Gamma -2A+180^{0} \right )=-\sigma \upsilon \nu \left ( 2\Gamma -2A \right )$

Έτσι η ισότητα του το πρώτου θέματος Τριγωνομετρίας στις εισαγωγικές εξετάσεις των Αγρονόμων - Τοπογράφων Ε.Μ.Π. του 1962 δίνει

$\displaystyle\frac{\sigma \upsilon \nu \left ( A_{1} -B_{1}\right )}{\sigma \upsilon \nu \Gamma _{1}} +\frac{\sigma \upsilon \nu \left ( B_{1} -\Gamma_{1}\right )}{\sigma \upsilon \nu A _{1}}+\frac{\sigma \upsilon \nu \left ( \Gamma_{1} -A_{1}\right )}{\sigma \upsilon \nu B _{1}}+2=$

$\displaystyle\frac{\sigma \upsilon \nu \left ( A_{1} -B_{1}\right )}{\sigma \upsilon \nu \Gamma _{1}}\cdot\frac{\sigma \upsilon \nu \left ( B_{1} -\Gamma_{1}\right )}{\sigma \upsilon \nu A _{1}}\cdot \frac{\sigma \upsilon \nu \left ( \Gamma_{1} -A_{1}\right )}{\sigma \upsilon \nu B _{1}}$

η οποία γράφεται

$\displaystyle\frac{-\sigma \upsilon \nu \left ( 2A-2B \right )}{\sigma \upsilon \nu 2\Gamma }+\frac{\sigma \upsilon \nu \left ( 2B-2\Gamma \right )}{\sigma \upsilon \nu \left ( 2A-180^{0} \right )}+\frac{-\sigma \upsilon \nu\left ( 2A-2\Gamma \right ) }{\sigma \upsilon \nu 2B}+2=$

$\displaystyle\frac{-\sigma \upsilon \nu \left ( 2A-2B \right )}{\sigma \upsilon \nu 2\Gamma }\cdot\frac{\sigma \upsilon \nu \left ( 2B-2\Gamma \right )}{\sigma \upsilon \nu \left ( 2A-180^{0} \right )}\cdot\frac{-\sigma \upsilon \nu\left ( 2A-2\Gamma \right ) }{\sigma \upsilon \nu 2B}$

που βέβαια είναι ισοδύναμη με την

$\displaystyle\frac{-\sigma \upsilon \nu \left ( 2A-2B \right )}{\sigma \upsilon \nu 2\Gamma }+\frac{\sigma \upsilon \nu \left ( 2B-2\Gamma \right )}{-\sigma \upsilon \nu 2A}+\frac{-\sigma \upsilon \nu\left ( 2A-2\Gamma \right ) }{\sigma \upsilon \nu 2B}+2=$

$\displaystyle\frac{-\sigma \upsilon \nu \left ( 2A-2B \right )}{\sigma \upsilon \nu 2\Gamma }\cdot\frac{\sigma \upsilon \nu \left ( 2B-2\Gamma \right )}{-\sigma \upsilon \nu 2A}\cdot\frac{-\sigma \upsilon \nu\left ( 2A-2\Gamma \right ) }{\sigma \upsilon \nu 2B}$

που είναι η ισότητα που θέλαμε να αποδειχθεί.

Με τις ίδιες σκέψεις αντιμετωπίζονται οι περιπτώσεις

αμβλεία, $\Gamma$ αμβλεία.

ΣΕ ΚΑΘΕ ΜΗ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ

ΣΕ ΚΑΘΕ ΜΗ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ

Re: ΣΕ ΚΑΘΕ ΜΗ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ

Re: ΣΕ ΚΑΘΕ ΜΗ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ

Re: ΣΕ ΚΑΘΕ ΜΗ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ

Μέλη σε σύνδεση