ΣΕ ΚΑΘΕ ΜΗ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ

Συντονιστές: vittasko, silouan, Doloros

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ
Δημοσιεύσεις: 882
Εγγραφή: Δευ Δεκ 28, 2009 11:41 pm
Τοποθεσία: Kάπου στο πιο μεγάλο νησί του Ιονίου

ΣΕ ΚΑΘΕ ΜΗ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ » Τετ Σεπ 05, 2018 8:26 am

Άλλο ένα θέμα που προκύπτει από το πρώτο θέμα των εισαγωγικών εξετάσεων Τριγωνομετρίας στους Αγρονόμους-Τοπογράφους του ΕΜΠ το 1962...

Να αποδειχθεί ότι σε κάθε μη ορθογώνιο τρίγωνο \displaystyle{AB\Gamma } αληθεύει η σχέση:

\displaystyle{2-\frac{\sigma\upsilon\nu (2B-2\Gamma)}{\sigma\upsilon\nu2 A}-\frac{\sigma\upsilon\nu (2\Gamma -2A)}{\sigma\upsilon\nu 2B}-\frac{\sigma\upsilon\nu (2A-2B)}{\sigma\upsilon\nu 2\Gamma}=-\frac{\sigma\upsilon\nu (2A-2B)\sigma\upsilon\nu (2B-2\Gamma)\sigma\upsilon\nu (2\Gamma -2A)}{\sigma\upsilon\nu2 A\sigma\upsilon\nu2 B\sigma\upsilon\nu2 \Gamma}}.

Έγινε διόρθωση της ισότητας , στην αρχική δημοσίευση ήμουν πολύ απρόσεκτος....



Λέξεις Κλειδιά:
STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1753
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: ΣΕ ΚΑΘΕ ΜΗ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Τρί Σεπ 11, 2018 6:10 pm

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε:
Τετ Σεπ 05, 2018 8:26 am
Άλλο ένα θέμα που προκύπτει από το πρώτο θέμα των εισαγωγικών εξετάσεων Τριγωνομετρίας στους Αγρονόμους-Τοπογράφους του ΕΜΠ το 1962...

Να αποδειχθεί ότι σε κάθε μη ορθογώνιο τρίγωνο \displaystyle{AB\Gamma } αληθεύει η σχέση:

\displaystyle{2-\frac{\sigma\upsilon\nu (2B-2\Gamma)}{\sigma\upsilon\nu2 A}-\frac{\sigma\upsilon\nu (2\Gamma -2A)}{\sigma\upsilon\nu 2B}-\frac{\sigma\upsilon\nu (2A-2B)}{\sigma\upsilon\nu 2\Gamma}=-\frac{\sigma\upsilon\nu (2A-2B)\sigma\upsilon\nu (2B-2\Gamma)\sigma\upsilon\nu (2\Gamma -2A)}{\sigma\upsilon\nu2 A\sigma\upsilon\nu2 B\sigma\upsilon\nu2 \Gamma}}.

Έγινε διόρθωση της ισότητας , στην αρχική δημοσίευση ήμουν πολύ απρόσεκτος....
Θέτουμε
\hat{x}=2\hat{B}-2\hat{\Gamma },\hat{y}=\hat{2\Gamma }-2\hat{A},\hat{\omega }=2\hat{A}-2\hat{B}
Συνεπώς \hat{x}+\hat{y}+\hat{\omega }=0
Οπότε η αποδεικτέα σχέση γράφεται
\dfrac{cosx.cosy.cos\omega }{cos2A.cos2B.cos2\Gamma }-\dfrac{cosx}{cos2A}-\dfrac{cosy}{cos2B}-\dfrac{cos\omega }{cos2\Gamma }=-2\Leftrightarrow \dfrac{cos\omega }{cos2\Gamma }(\dfrac{2cosx.cosy}{2cos2A.cos2B}-1)-(\dfrac{2cosx.cos2B+2cosy.cos2A}{2cos2A.cos2B})=-2\Leftrightarrow \dfrac{cos\omega }{cos2\Gamma }(\dfrac{cos(x-y)-cos(2A+2B)}{2cos2A.cos2B})-\dfrac{cos(x+2B)+cos(x-2B)+cos(y+2A)+cos(y-2A)}{2cos(2A)cos2B}=-2\Leftrightarrow 2cos(2A-2B)(2cos^{2}(2A+2B)-1)-cos(2B-2A)).cos4\Gamma -cos(4A+4B)=-2cos2B.cos2A,(*)

Διευκρινίζεται οτι χρησιμοποίησα τους τύπους
x-y=360-6\Gamma ,x+2B=4B-2\Gamma ,x-2B=-2\Gamma ,y+2A=2\Gamma ,y-2A=2\Gamma -4A,cos3t=4cos^{3}t-3cost,2B+2A-2\Gamma =360-4\Gamma ,

Οπότε η (*) γράφεται

-cos(2B-2A)-cos(2A+2B)=-2cos2A.cos2B
η οποία είναι προφανής





Γιάννης


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ
Δημοσιεύσεις: 882
Εγγραφή: Δευ Δεκ 28, 2009 11:41 pm
Τοποθεσία: Kάπου στο πιο μεγάλο νησί του Ιονίου

Re: ΣΕ ΚΑΘΕ ΜΗ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ » Τρί Σεπ 11, 2018 9:14 pm

Να ευχαριστήσω το συνάδελφο Γιάννη για τη λύση του...
Αν και δημοσίευσα το θέμα στις 5 Σεπτεμβρίου , μόλις σήμερα κατάλαβα πόσο άσχημα είχα γράψει τη διατύπωση...
Και μόλις συνδέθηκα για να γράψω τη σωστή διατύπωση , βλέπω το προσωπικό μήνυμα του Γιάννη που μου υποδείκνυε ό,τι κάτι είχα γράψει λάθος...
Οφείλω να ζητήσω συγνώμη για τη λανθασμένη διατύπωση...
Σε λίγες μέρες θα γράψω τις σκέψεις που με οδήγησαν στη διατύπωση του θέματος , να βρω λίγο χρόνο μόνο...
Πάντως το παλιό θέμα του 1962 είχε ωραίες προεκτάσεις...


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης