ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #1

Αποδείξτε ότι σε κάθε τρίγωνο ABC

ισχύει

$sin^{2}\left ( A-C \right )+cos^{2}\left ( C-B \right )+sin^{2}\left ( B-A \right )-1=-2sin\left ( A-C \right )cos\left ( C-B \right )sin\left ( B-A \right )$

EDIT: Ζητώ αυγνώμη για την παράλειψη του μείον στο δεύτερο μέρος της ισότητας.

nikkru · #2

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: ↑
Κυρ Αύγ 26, 2018 9:49 am
Αποδείξτε ότι σε κάθε τρίγωνο ισχύει

$sin^{2}\left ( A-C \right )+cos^{2}\left ( C-B \right )+sin^{2}\left ( B-A \right )-1=2sin\left ( A-C \right )cos\left ( C-B \right )sin\left ( B-A \right )$

.
Η ταυτότητα ισχύει για οποιαδήποτε τριάδα γωνιών A,B,C

αφού

, και θέλει ένα

στο 2ο μέλος.

Θέτοντας A-C=x

και

οπότε

, το 1ο μέλος γίνεται:

$sin^{2}\left ( A-C \right )+cos^{2}\left ( C-B \right )+sin^{2}\left ( B-A \right )-1=sin^2 x +sin^{2} (-(x+y)) - \left ( 1 - cos^{2}y \right )=$

$sin^{2}x -sin^{2} y + sin^{2} (x+y)=sin(x-y)sin(x+y)+sin^2 (x+y)=$

sin(x+y)(sin(x-y)+sin(x+y))=-sin(-(x+y))2sinx cos(-y)=

$=-2 sinx cosy sin(-(x+y))= -2sin\left ( A-C \right )cos\left ( C-B \right )sin\left ( B-A \right )$ .

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: ↑
Κυρ Αύγ 26, 2018 9:49 am
Αποδείξτε ότι σε κάθε τρίγωνο ισχύει

$sin^{2}\left ( A-C \right )+cos^{2}\left ( C-B \right )+sin^{2}\left ( B-A \right )-1=2sin\left ( A-C \right )cos\left ( C-B \right )sin\left ( B-A \right )$

Για

δεν ισχύει.Χάνω κάτι;

συμπλήρωμα.
Η λύση από πάνω δείχνει ότι δεξιά πρέπει να υπάρχει ενα

.
Δυστυχώς όταν το δημοσίευα δεν είδα την λύση.

ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ

ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ

Re: ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ

Re: ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ

Μέλη σε σύνδεση