ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ

Συντονιστές: vittasko, silouan, Doloros

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ
Δημοσιεύσεις: 895
Εγγραφή: Δευ Δεκ 28, 2009 11:41 pm
Τοποθεσία: Kάπου στο πιο μεγάλο νησί του Ιονίου

ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ » Κυρ Αύγ 26, 2018 9:49 am

Αποδείξτε ότι σε κάθε τρίγωνο ABC ισχύει

sin^{2}\left ( A-C \right )+cos^{2}\left ( C-B \right )+sin^{2}\left ( B-A \right )-1=-2sin\left ( A-C \right )cos\left ( C-B \right )sin\left ( B-A \right )

EDIT: Ζητώ αυγνώμη για την παράλειψη του μείον στο δεύτερο μέρος της ισότητας.
τελευταία επεξεργασία από ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ σε Κυρ Αύγ 26, 2018 1:13 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.



Λέξεις Κλειδιά:
nikkru
Δημοσιεύσεις: 336
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 26, 2009 6:42 pm

Re: ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nikkru » Κυρ Αύγ 26, 2018 11:55 am

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε:
Κυρ Αύγ 26, 2018 9:49 am
Αποδείξτε ότι σε κάθε τρίγωνο ABC ισχύει

sin^{2}\left ( A-C \right )+cos^{2}\left ( C-B \right )+sin^{2}\left ( B-A \right )-1=2sin\left ( A-C \right )cos\left ( C-B \right )sin\left ( B-A \right )
.
Η ταυτότητα ισχύει για οποιαδήποτε τριάδα γωνιών A,B,C αφού (A-C)+(C-B)+(B-A)=0, και θέλει ένα - στο 2ο μέλος.

Θέτοντας A-C=x και C-B=y οπότε B-A=-(x+y), το 1ο μέλος γίνεται:

sin^{2}\left ( A-C \right )+cos^{2}\left ( C-B \right )+sin^{2}\left ( B-A \right )-1=sin^2 x +sin^{2} (-(x+y)) - \left ( 1 - cos^{2}y \right )=

 sin^{2}x -sin^{2} y + sin^{2} (x+y)=sin(x-y)sin(x+y)+sin^2 (x+y)=

sin(x+y)(sin(x-y)+sin(x+y))=-sin(-(x+y))2sinx cos(-y)=

=-2 sinx cosy sin(-(x+y))= -2sin\left ( A-C \right )cos\left ( C-B \right )sin\left ( B-A \right ) .


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2250
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Αύγ 26, 2018 11:57 am

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε:
Κυρ Αύγ 26, 2018 9:49 am
Αποδείξτε ότι σε κάθε τρίγωνο ABC ισχύει

sin^{2}\left ( A-C \right )+cos^{2}\left ( C-B \right )+sin^{2}\left ( B-A \right )-1=2sin\left ( A-C \right )cos\left ( C-B \right )sin\left ( B-A \right )
Για B=C δεν ισχύει.Χάνω κάτι;

συμπλήρωμα.
Η λύση από πάνω δείχνει ότι δεξιά πρέπει να υπάρχει ενα -.
Δυστυχώς όταν το δημοσίευα δεν είδα την λύση.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης