ΠΡΟΕΚΥΨΕ ΑΠΟ ΠΑΛΙΟ ΘΕΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΩΝ...

Συντονιστές: vittasko, silouan, Doloros

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ
Δημοσιεύσεις: 894
Εγγραφή: Δευ Δεκ 28, 2009 11:41 pm
Τοποθεσία: Kάπου στο πιο μεγάλο νησί του Ιονίου

ΠΡΟΕΚΥΨΕ ΑΠΟ ΠΑΛΙΟ ΘΕΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΩΝ...

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ » Σάβ Αύγ 25, 2018 4:30 pm

Κάποια παλιά θέματα εισαγωγικών δίνουν αφορμή για λίγη σκέψη....


Να αποδειχθεί οτι σε κάθε μη ορθογώνιο τρίγωνο \displaystyle{AB\Gamma } αληθεύει η σχέση:

\displaystyle{2-\frac{\sigma\upsilon\nu (B-\Gamma)}{\sigma\upsilon\nu A}-\frac{\eta \mu  (\Gamma -A)}{ \eta \mu B}+\frac{\eta \mu  (A-B)}{ \eta \mu \Gamma}=\frac{\eta \mu  (A-B)\sigma\upsilon\nu (B-\Gamma)\eta \mu  (\Gamma -A)}{\sigma\upsilon\nu A\eta \mu  B \eta \mu \Gamma}}.



Λέξεις Κλειδιά:
ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ
Δημοσιεύσεις: 894
Εγγραφή: Δευ Δεκ 28, 2009 11:41 pm
Τοποθεσία: Kάπου στο πιο μεγάλο νησί του Ιονίου

Re: ΠΡΟΕΚΥΨΕ ΑΠΟ ΠΑΛΙΟ ΘΕΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΩΝ...

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ » Τρί Σεπ 04, 2018 8:48 pm

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΙΚΟ.png
ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΙΚΟ.png (147.9 KiB) Προβλήθηκε 253 φορές
Θα δώσω τη λύση του θέματος...

Είδαμε στην παρακάτω δημοσίευση
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 59#p301859
ότι σε κάθε μη ορθογώνιο τρίγωνο AB\Gamma ισχύει ότι
\displaystyle{2+\frac{\sigma\upsilon\nu (B-\Gamma)}{\sigma\upsilon\nu A}+\frac{\sigma\upsilon\nu (\Gamma -A)}{\sigma\upsilon\nu B}+\frac{\sigma\upsilon\nu (A-B)}{\sigma\upsilon\nu \Gamma}=\frac{\sigma\upsilon\nu (A-B)\sigma\upsilon\nu (B-\Gamma)\sigma\upsilon\nu (\Gamma -A)}{\sigma\upsilon\nu A\sigma\upsilon\nu B\sigma\upsilon\nu \Gamma}}.

Η διατύπωση του θέματος βασίζεται στο γεγονός ότι η παραπάνω ισότητα παίρνει μια διαφορετική μορφή αν εφαρμοστεί σε κάποιο τρίγωνο που προκύπτει απο το AB\Gamma.

Aν πάρουμε το σημείο P αντιδιαμετρικό του A μπορούμε να σχηματίσουμε το τρίγωνο PB\Gamma.
Στο τρίγωνο αυτό η \hat{P} είναι παραπληρωματική της \hat{A} του τριγώνου AB\Gamma.
Έτσι \sigma \upsilon \nu P=-\sigma \upsilon \nu A.

Επίσης στο τρίγωνο αυτό η P\hat{B}\Gamma είναι συμπληρωματική της  \hat{B} του τριγώνου AB\Gamma.
Kαι φυσικά P\hat{\Gamma}B είναι συμπληρωματική της  \hat{\Gamma} του τριγώνου AB\Gamma.
Και έτσι ισχύει
\sigma \upsilon \nu P\hat{B}\Gamma  =\eta \mu  B και \sigma \upsilon \nu P\hat{\Gamma}B =\eta \mu \Gamma.

Eπίσης ισχύει ότι  P\hat{B}\Gamma  -P\hat{\Gamma }B=90^{0}-B-\left ( 90^{0}-\Gamma  \right )=\Gamma -B
Συνεπώς \sigma \upsilon \nu \left (P\hat{B}\Gamma  -P\hat{\Gamma }B  \right )=\sigma \upsilon \nu \left ( \Gamma -B \right )=\sigma \upsilon \nu \left ( B -\Gamma \right )

Eπίσης έχουμε ότι
 P\hat{\Gamma }B-P=90^{0}-\Gamma-\left ( 180^{0}-A  \right )=A-\Gamma-90^{0}
Συνεπώς \sigma \upsilon \nu \left ( P\hat{\Gamma }B-P  \right )=\sigma \upsilon \nu \left (A-\Gamma-90^{0}  \right )=\sigma \upsilon \nu \left [ 90^{0}-\left (A -\Gamma \right ) \right ]=\eta \mu \left ( A-\Gamma \right )=-\eta \mu \left ( \Gamma-A \right )

Και ακόμα P-P\hat{B}\Gamma  \right )=180^{0}-A-\left ( 90^{0}-B \right )=90^{0}+B-A
Συνεπώς \sigma \upsilon \nu \left ( P-P\hat{B}\Gamma  \right )=\sigma \upsilon \nu \left (90^{0}+B-A \right )=\sigma \upsilon \nu \left [ 90^{0}-\left (A -B \right ) \right ]=\eta \mu \left ( A-B \right )


Έχουμε λοιπόν ότι

\displaystyle 2+\frac{\sigma \upsilon \nu \left ( P\hat{B}\Gamma -P\hat{\Gamma }B \right )}{\sigma \upsilon \nu P}+\frac{\sigma \upsilon \nu\left (P\hat{\Gamma }B -P  \right )}{\sigma \upsilon \nu P\hat{B}\Gamma  }+\frac{\sigma \upsilon \nu \left ( P -P\hat{B }\Gamma  \right )}{\sigma \upsilon \nu P\hat{\Gamma }B   }=


\displaystyle=\frac{\sigma \upsilon \nu \left ( P\hat{B}\Gamma -P\hat{\Gamma }B \right )}{\sigma \upsilon \nu P}
\cdot \frac{\sigma \upsilon\nu \left (P\hat{\Gamma }B -P  \right )}{\sigma \upsilon \nu P\hat{B}\Gamma  }\cdot \frac{\sigma \upsilon \nu \left ( P -P\hat{B }\Gamma  \right )}{\sigma \upsilon \nu P\hat{\Gamma }B   }

δηλαδή

\displaystyle 2+\frac{\sigma \upsilon \nu \left ( B-\Gamma \right )}{-\sigma \upsilon \nu A}+\frac{ -\eta \mu \left ( \Gamma-A \right )}{ \eta \mu B }+\frac{\eta \mu \left ( A-B \right )}{\eta \mu \Gamma }=\frac{\sigma \upsilon \nu \left ( B-\Gamma \right )}{-\sigma \upsilon \nu A}\cdot\frac{ -\eta \mu \left ( \Gamma-A \right )}{ \eta \mu B }\cdot\frac{\eta \mu \left ( A-B \right )}{\eta \mu \Gamma }

και έτσι προκύπτει αυτό που θέλουμε

\displaystyle{2-\frac{\sigma\upsilon\nu (B-\Gamma)}{\sigma\upsilon\nu A}-\frac{\eta \mu  (\Gamma -A)}{ \eta \mu B}+\frac{\eta \mu  (A-B)}{ \eta \mu \Gamma}=\frac{\eta \mu  (A-B)\sigma\upsilon\nu (B-\Gamma)\eta \mu  (\Gamma -A)}{\sigma\upsilon\nu A\eta \mu  B \eta \mu \Gamma}}.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης