Θέμα απο Βalkan ΜΟ Shortlist

[Datis-Kalali]

Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο με ορθόκεντρο , βαρύκενρο και περιεγγεγραμένο κύκλο . Έστω ότι και είναι τα σημεία τομής των ευθιών και με την πλευρά αντοίστοιχα. Οι ημιευθείες και τέμνουν τον κύκλο στα σημεία και αντοίστοιχα. Να αποδείξετε ότι οι ευθίες και τένονται πάνω στον κύκλο .

[Διονύσιος Αδαμόπουλος]

bmoshortlistgeo.png (43.73 KiB) Προβλήθηκε 1154 φορές

Είναι γνωστό πως (κοιτάξτε το πρόβλημα γεωμετρίας του φετινού προκριματικού Link).

Επομένως αν η τέμνει τον στο θα ισχύει ότι αφού μέσο του , , όπου το σημείο τομής της με τον .

Οπότε , δηλαδή αν το σημείο τομής της με τον κύκλο, αρκεί .

Θα αποδείξουμε τώρα πως το είναι εγγράψιμο.

Αν η τομή της με τον κύκλο, τότε έχουμε πως και πως το είναι το αντιδιαμετρικό του στον (αφού , άρα το είναι παραλληλόγραμμο, δηλαδή , αφού ).

Ισχύει ότι , όπου το σημείο τομής του με τον .

Λόγω όμως του ότι και , ισχύει ότι .

Επομένως το είναι εγγράψιμο.

Άρα .

Είναι .

Επομένως , δηλαδή .

Όμως (κατά τα γνωστά ισογώνιες), οπότε

και το ζητούμενο έπεται!

Edit: Μερικές διορθώσεις και προστέθηκε το σχήμα!

[min##]

Το είναι φανερά εγγράψιμο ενώ από το λήμμα του Προκριματικού 2018 είναι , παράλληλες.Άρα επειδή αρκεί εγγράψιμο,με την τομή των τμημάτων,δηλαδή παραπληρωματικές το ζητούμενο είναι άμεσο(,το πρώτο από το εγγράψιμο και το δεύτερο από την παραλληλία.
Με πρόλαβες
Για την εγγραψιμότητα πιο απλά είναι κλπ.

[Διονύσιος Αδαμόπουλος]

Για την εγγραψιμότητα πιο απλά είναι κλπ.

Να πω την αλήθεια έτσι το έλυσα στο χαρτί, όμως το γεγονός ότι αν και για πολλούς προφανές λήμμα , χρειαζόταν πιο μεγάλη απόδειξη (αν θέλουμε να γράψουμε επίσημη λύση και να μην το θεωρήσουμε προφανές λήμμα απευθείας), για αυτό ακολούθησα την τετριμμένη οδό. Μια απόδειξη της καθετότητας χωρίς να χρησιμοποιήσουμε την εγγραψιμότητα είναι να δείξουμε πως το ανήκει στον περιγεγραμμένο κύκλο του ( τα ίχνη των υψών από ) με αρνητική αντιστροφή με πόλο το και δύναμη κλπ κλπ (βαριέμαι να την γράψω ολόκληρη... )

[min##]

Συμφωνώ απόλυτα(καλά, η αντιστροφή το σκοτώνει.).Απλά να πούμε ότι η καθετότητα βγαίνει από την παραλληλία στο σχήμα σου ή πχ. λόγω
.κλπ.

[george visvikis]

Να πω την αλήθεια έτσι το έλυσα στο χαρτί, όμως το γεγονός ότι αν και για πολλούς προφανές λήμμα , χρειαζόταν πιο μεγάλη απόδειξη (αν θέλουμε να γράψουμε επίσημη λύση και να μην το θεωρήσουμε προφανές λήμμα απευθείας)...

Lemma-BMO.png (13.18 KiB) Προβλήθηκε 1072 φορές

Τα συμμετρικά του ορθοκέντρου ως προς τις πλευρές (και ως προς τα μέσα των πλευρών) ενός τριγώνου, είναι σημεία

του περιγεγραμμένου κύκλου. Άρα η είναι διάμετρος και το ζητούμενο έπεται.