Παρεγγεγραμμένοι κύκλοι και συντρέχεια.

Συντονιστές: vittasko, silouan, Doloros

Άβαταρ μέλους
vittasko
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2068
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.

Παρεγγεγραμμένοι κύκλοι και συντρέχεια.

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από vittasko » Δευ Ιούλ 09, 2018 12:34 pm

Δίνεται τρίγωνο \vartriangle ABC και έστω D',\ E',\ F' , τα σημεία επαφής των παρεγγεγραμμένων κύκλων του (I_{a}),\ (I_{b}),\ (I_{c}) , στις πλευρές BC,\ AC,\ AB , αντιστοίχως. K,\ L , είναι τα σημεία επαφής του κύκλου (I_{a}) στις ευθείες AB,\ AC αντιστοίχως, M,\ N , είναι τα σημεία επαφής του κύκλου (I_{b}) , στις ευθείες BC,\ AB αντιστοίχως και P,\ Q , είναι τα σημεία επαφής του κύκλου (I_{c}) , στις ευθείες AC,\ BC , αντιστοίχως. Αποδείξτε ότι οι δια των σημείων D',\ E',\ F' κάθετες ευθείες επί των KL,\ MN,\ PQ αντιστοίχως, τέμνονται στο ίδιο σημείο .
f185 t62165.png
Παρεγγεγραμμένοι κύκλοι και συντρέχεια.
f185 t62165.png (37.92 KiB) Προβλήθηκε 284 φορές
Κώστας Βήττας.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1914
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: Παρεγγεγραμμένοι κύκλοι και συντρέχεια.

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Παρ Αύγ 17, 2018 8:50 am

Με τις παρακάτω παραπομπές, νομίζω ότι έχουμε απλή λύση

https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 85&t=62382

https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 85&t=62363


Άβαταρ μέλους
min##
Δημοσιεύσεις: 322
Εγγραφή: Τρί Απρ 18, 2017 3:40 pm

Re: Παρεγγεγραμμένοι κύκλοι και συντρέχεια.

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από min## » Παρ Αύγ 17, 2018 7:56 pm

Εναλλακτικά,το ζητούμενο έπεται από τα εξής:
1)Αν δύο τρίγωνα είναι ορθολογικά και φέρουμε ομοιόθετο του δεύτερου,τότε εκείνο είναι ορθολογικό του πρώτου
2)Τα IaIbIc,D'E'F' είναι ορθολογικά.
Το πρώτο είναι προφανές,ενώ για το δεύτερο αρκεί να θεωρήσουμε τρίγωνο XYZμε X,Y,Z στον περίκυκλο του ABC ώστε να είναι μέσα των μεγάλων τόξων BC,CA,AB(ομοιόθετοτου IaIbIc).
.Τότε τα E'D'CZ και τα κυκλικά τους είναι εγγράψιμα(η τομή των IaD',IbE' πχ. είναι το αντιδιαμετρικό του C στον αναγραφόμενο κύκλο κλπ) και με απλό κυνήγι γωνιών το Z πχ. είναι στη μεσοκάθετο τουD'E', και το ζητούμενο έπεται.Για την αρχική,το IaIbIc είναι ομοιόθετο του τριγώνου που ορίζεται από τις μπλε γραμμές στο σχήμα του κ.Βήττα,οπότε εφαρμόζοντας τα 2 πάνω "λήμματα" το ζητούμενο έπεται..(Θα επιστρέψω ίσως αργότερα με λεπτομέρειες και σχήμα).


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης