Παρεγγεγραμμένοι κύκλοι και καθετότητα.

Συντονιστές: vittasko, silouan, Doloros

Άβαταρ μέλους
vittasko
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2068
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.

Re: Παρεγγεγραμμένοι κύκλοι και καθετότητα.

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από vittasko » Σάβ Οκτ 27, 2018 11:52 am

\bullet Έστω E,\ Z, τα σημεία αντί των E',\ F' της εκφώνησης αντιστοίχως και έστω τα σημεία K\equiv PQ\cap ME και L\equiv MN\cap QZ.

Στο ορθογώνιο τραπέζιο QMI_{b}I_{c} , από QK\parallel CI_{b} και MK\parallel CI_{c} , σύμφωνα με γνωστό Λήμμα που έχουμε ξαναδεί στο :logo: ( Δείτε και Εδώ ), προκύπτει ότι το σημείο K ανήκει στην ευθεία I_{b}I_{c} και ομοίως για το σημείο L , από QL\parallel BI_{b} και ML\parallel BI_{c} .

Από \angle EKP = \angle I_{b}CI_{c} = 90^{o} έχουμε ότι το σημείο K ανήκει επίσης στον κύκλο με διάμετρο EP και ομοίως, το σημείο L ανήκει επίσης στον κύκλο με διάμετρο ZN, από \angle ZLN = \angle I_{b}BI_{c} = 90^{o} .

Από το ισοσκελές τραπέζιο EZPN έχουμε ότι οι ως άνω κύκλοι διαμέτρων EP = ZN τέμνουν την ευθεία I_{b}I_{c} , κοινή μεσοκάθετη των βάσεών του EN,\ ZP στα ίδια σημεία, λόγω συμμετρίας ( των διαμέτρων ) ως προς την ευθεία I_{b}I_{c} και επομένως, τα σημεία K,\ L ανήκουν και στους δύο ως άνω κύκλους.
f185 t62160(c).png
Παρεγγεγραμμένοι κύκλοι και καθετότητα - Απόδειξη της πρότασης.
f185 t62160(c).png (47.03 KiB) Προβλήθηκε 645 φορές
\bullet Έστω τα σημεία X\equiv KL\cap ZP και Y\equiv KL\cap EN.

Από τα ομοκυκλικά σημεία K,\ Z,\ L,\ N τώρα ( ομοίως από τα ομοκυκλικά K,\ E,\ L,\ P ), εύκολα προκύπτει ότι KX = YL, λόγω των παραλλήλων ευθειών EN\parallel ZP από τα άκρα της διαμέτρου EP ή ZN του αντίστοιχου κύκλου.

Έχουμε διαμορφώσει έτσι, το τρίγωνο \vartriangle SKL με KX = YL και σύμφωνα με την Βοηθητική πρόταση που είδαμε στα προηγούμενα, τα σημεία S,\ T και R\equiv KN\cap LP είναι συνευθειακά.
Για την απόδειξη της Βοηθητικής πρότασης , συστήνεται στον αναγνώστη η όμορφη προσέγγιση με Πολικές που μας έδωσε ο Μίνος ( min ) πιο πάνω ( 8η δημοσίευση ).
Έστω το σημείο F\equiv EK\cap ZL και λόγω της συμμετρίας του εξαγώνου KZELNP ως προς την ευθεία KL, έχουμε ότι τα σημεία R,\ F είναι συμμετρικά ως προς την KL και άρα, τα τρίγωνα \vartriangle RPN,\ \vartriangle FZE είναι συμμετρικά ως προς την ίδια ευθεία και επομένως, είναι ορθολογικά σύμφωνα με την πρόταση που έχουμε δεί Εδώ.
Όπως επισημαίνεται από τον Σταύρο Παπαδόπουλο στην παραπομπή, το κριτήριο για την ορθολογικότητα των τριγώνων \vartriangle RPN,\ \vartriangle FZE δεν είναι η συμμετρικότητά τους ως προς την ευθεία KL αυτή καθεαυτή, αλλά το ότι τα τρίγωνα αυτά είναι όμοια και αντίρροπα μεταξύ τους ( ως ειδική περίπτωση λόγω της συμμετρικότητάς τους ).
Από την ορθολογικότητα των ως άνω τριγώνων τέλος και επειδή το σημείο S ταυτίζεται με το σημείο τομής των δια των κορυφών P,\ N του τριγώνου \vartriangle RPN καθέτων ευθειών, επί των ευθειών των πλευρών FE,\ FZ του τριγώνου \vartriangle FZE αντιστοίχως, συμπεραίνεται ότι η ευθεία ST\equiv SR είναι κάθετη επί την EZ και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

\bullet Η απόδειξη αυτή αφιερώνεται σε ένδειξη τιμής, στον Μίνο Μαργαρίτη.

Κώστας Βήττας.



Λέξεις Κλειδιά:
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης