Συνευθειακά;!
Συντονιστές: vittasko, silouan, Doloros
- Διονύσιος Αδαμόπουλος
- Δημοσιεύσεις: 807
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
- Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας
Συνευθειακά;!
Έστω τρίγωνο και έστω τα μέσα των και . Φέρνουμε τον κύκλο που εφάπτεται στον περιγεγραμμένο κύκλο στο και διέρχεται από τα (Το βρίσκεται σε διαφορετικό ημιεπίπεδο από το ως προς την ). Η ξανατέμνει το μικρό κύκλο στο . Οι εφαπτόμενες των και τέμνονται στο . Να αποδειχθεί πως τα σημεία είναι συνευθειακά!
Έφτασα σε αυτό στο πλαίσιο λύσης μιας άλλης άσκησης. Το έχω λύσει με έναν περίεργο τρόπο. Αν θέλετε ανεβάζω και το αρχικό πρόβλημα.
Έφτασα σε αυτό στο πλαίσιο λύσης μιας άλλης άσκησης. Το έχω λύσει με έναν περίεργο τρόπο. Αν θέλετε ανεβάζω και το αρχικό πρόβλημα.
Houston, we have a problem!
Λέξεις Κλειδιά:
- Διονύσιος Αδαμόπουλος
- Δημοσιεύσεις: 807
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
- Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας
Re: Συνευθειακά;!
Καλησπέρα.
Έστω τα σημεία τομής του μικρού κύκλου με τις αντίστοιχα,και η κοινή εφαπτομένη των δύο κύκλων.Από το θεώρημα χορδής και εφαπτομένης, και .Συμπεραίνουμε ότι ,οπότε η είναι συμμετροδιάμεσος του τριγώνου ,και άρα διέρχεται από το .Ομοίως,η είναι συμμετροδιάμεσος του τριγώνου .Με χρήση των εγγεγραμμένων τετραπλεύρων και των παραπάνω αποτελεσμάτων,προκύπτει ότι .Θα αποδείξουμε ότι το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο.Στη συνέχεια θα γράψουμε (χρησιμοποιήθηκε και το θεώρημα χορδής και εφαπτομένης),από όπου θα προκύψει το ζητούμενο.
Όμως,το είναι εγγράψιμο επειδή ,και το ζητούμενο έπεται.
Έστω τα σημεία τομής του μικρού κύκλου με τις αντίστοιχα,και η κοινή εφαπτομένη των δύο κύκλων.Από το θεώρημα χορδής και εφαπτομένης, και .Συμπεραίνουμε ότι ,οπότε η είναι συμμετροδιάμεσος του τριγώνου ,και άρα διέρχεται από το .Ομοίως,η είναι συμμετροδιάμεσος του τριγώνου .Με χρήση των εγγεγραμμένων τετραπλεύρων και των παραπάνω αποτελεσμάτων,προκύπτει ότι .Θα αποδείξουμε ότι το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο.Στη συνέχεια θα γράψουμε (χρησιμοποιήθηκε και το θεώρημα χορδής και εφαπτομένης),από όπου θα προκύψει το ζητούμενο.
Όμως,το είναι εγγράψιμο επειδή ,και το ζητούμενο έπεται.
Γιώργος Γαβριλόπουλος
-
- Δημοσιεύσεις: 876
- Εγγραφή: Τρί Σεπ 13, 2022 12:01 pm
Re: Συνευθειακά;!
Βάζω μία λύση. Μην βαράτε. ( )
Φέρνουμε την κοινή εφαπτομένη των κύκλων και και πρέπει
Ονομάζουμε και
Έχουμε
Με παρόμοιο τρόπο
Από και προκύπτει ότι
Οπότε προκύπτει ότι και σε συνδυασμό
με την ,
Επομένως είναι
Όμως είναι
Οπότε και (χορδής -εφαπτομένης) . Συνεπώς, τα τρίγωνα
και είναι όμοια κι έτσι οπότε εγγράψιμο και Όμως είναι ,
επομένως τα σημεία είναι συνευθειακά.
Ένα διαφορετικό τελείωμα: Είναι (όπως δείξαμε και πριν) Αν το σημείο τομής των εφαπτομένων στα , του κύκλου τότε οπότε
Επομένως , δηλαδή εγγράψιμο , οπότε
Αφού όμως , έπεται ότι συνευθειακά ...κλπ.
Φέρνουμε την κοινή εφαπτομένη των κύκλων και και πρέπει
Ονομάζουμε και
Έχουμε
Με παρόμοιο τρόπο
Από και προκύπτει ότι
Οπότε προκύπτει ότι και σε συνδυασμό
με την ,
Επομένως είναι
Όμως είναι
Οπότε και (χορδής -εφαπτομένης) . Συνεπώς, τα τρίγωνα
και είναι όμοια κι έτσι οπότε εγγράψιμο και Όμως είναι ,
επομένως τα σημεία είναι συνευθειακά.
Ένα διαφορετικό τελείωμα: Είναι (όπως δείξαμε και πριν) Αν το σημείο τομής των εφαπτομένων στα , του κύκλου τότε οπότε
Επομένως , δηλαδή εγγράψιμο , οπότε
Αφού όμως , έπεται ότι συνευθειακά ...κλπ.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες