Συνευθειακά;!

Συντονιστές: vittasko, silouan, Doloros

Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 795
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Συνευθειακά;!

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Κυρ Μάιος 06, 2018 10:32 pm

Έστω τρίγωνο ABC και έστω M, N τα μέσα των AB και AC. Φέρνουμε τον κύκλο που εφάπτεται στον περιγεγραμμένο κύκλο στο D και διέρχεται από τα M, N (Το D βρίσκεται σε διαφορετικό ημιεπίπεδο από το A ως προς την BC). Η AD ξανατέμνει το μικρό κύκλο στο E. Οι εφαπτόμενες των A και B τέμνονται στο F. Να αποδειχθεί πως τα σημεία F, E, N είναι συνευθειακά!

Έφτασα σε αυτό στο πλαίσιο λύσης μιας άλλης άσκησης. Το έχω λύσει με έναν περίεργο τρόπο. Αν θέλετε ανεβάζω και το αρχικό πρόβλημα.
συνευθειακά.png
συνευθειακά.png (28.99 KiB) Προβλήθηκε 634 φορές


Houston, we have a problem!

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 795
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Συνευθειακά;!

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Παρ Μάιος 11, 2018 10:59 pm

Επαναφορά!


Houston, we have a problem!
gavrilos
Δημοσιεύσεις: 1032
Εγγραφή: Παρ Δεκ 07, 2012 4:11 pm

Re: Συνευθειακά;!

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gavrilos » Δευ Μάιος 14, 2018 7:35 pm

Καλησπέρα.

\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=0.8cm,y=0.8cm] 
\clip(-3.,-4.) rectangle (8.,6.2); 
\fill[line width=0.8pt,color=grey,fill=grey,fill opacity=0.20000000298023224] (2.227044847720962,5.422686871738195) -- (0.,0.) -- (7.3168158703100845,0.) -- cycle; 
\draw [line width=0.8pt,color=black] (2.227044847720962,5.422686871738195)-- (0.,0.); 
\draw [line width=0.8pt,color=black] (0.,0.)-- (7.3168158703100845,0.); 
\draw [line width=0.8pt,color=black] (7.3168158703100845,0.)-- (2.227044847720962,5.422686871738195); 
\draw [line width=0.8pt] (3.658407935155042,1.666183665441198) circle (3.215971803556835cm); 
\draw [line width=0.8pt] (-1.7751667508013897,3.8977000327485185)-- (0.,0.); 
\draw [line width=0.8pt] (2.9427263914380024,0.6365290581031555) circle (2.2128124160440703cm); 
\draw [line width=0.8pt] (1.113522423860481,2.7113434358690975)-- (1.3640450516788172,-1.6347276611344042); 
\draw [line width=0.8pt] (1.3640450516788172,-1.6347276611344042)-- (4.771930359015523,2.7113434358690975); 
\draw [line width=0.8pt] (0.,0.)-- (1.3640450516788172,-1.6347276611344042); 
\draw [line width=0.8pt] (1.3640450516788172,-1.6347276611344042)-- (2.227044847720962,5.422686871738195); 
\draw [line width=0.8pt] (1.113522423860481,2.7113434358690975)-- (4.771930359015523,2.7113434358690975); 
\draw [line width=0.8pt] (-1.7751667508013897,3.8977000327485185)-- (1.113522423860481,2.7113434358690975); 
\draw [line width=0.8pt] (7.3168158703100845,0.)-- (1.3640450516788172,-1.6347276611344042); 
\draw [line width=0.8pt] (-1.7751667508013897,3.8977000327485185)-- (2.227044847720962,5.422686871738195); 
\draw [line width=0.8pt] (1.3640450516788172,-1.6347276611344042)-- (5.129124186504486,2.3307859863504756); 
\draw [line width=0.8pt,domain=-3.:8.] plot(\x,{(--2.2664767145437095--2.2943628834762246*\x)/-3.3009113265756023}); 
\draw (-1.5583124957121544,1.2) node[anchor=north west] {x '}; 
\draw (4.273183952279403,-2.8) node[anchor=north west] {x}; 
\draw [line width=0.8pt,dash pattern=on 2pt off 2pt] (-1.7751667508013897,3.8977000327485185)-- (4.771930359015523,2.7113434358690975); 
\draw [line width=0.8pt] (-1.7751667508013897,3.8977000327485185)-- (1.3640450516788172,-1.6347276611344042); 
\begin{scriptsize} 
\draw [fill=black] (2.227044847720962,5.422686871738195) circle (1.5pt); 
\draw<span style="color:black"> (2.022430937265118,5.870279800860354) node {A}; 
\draw [fill=black] (0.,0.) circle (1.5pt); 
\draw<span style="color:black"> (-0.4585127270119922,0.11551356928974121) node {B}; 
\draw [fill=black] (7.3168158703100845,0.) circle (1.5pt); 
\draw<span style="color:black"> (7.62373673599385,0.14109030809672174) node {C}; 
\draw [fill=black] (1.113522423860481,2.7113434358690975) circle (1.5pt); 
\draw<span style="color:black"> (1,3.14) node {M}; 
\draw [fill=black] (4.771930359015523,2.7113434358690975) circle (1.5pt); 
\draw<span style="color:black"> (4.887025683646935,3.2614524425483427) node {N}; 
\draw [fill=black] (-1.7751667508013897,3.8977000327485185) circle (1.5pt); 
\draw<span style="color:black"> (-2.248884443500628,4.182215039599641) node {F}; 
\draw [fill=black] (1.3640450516788172,-1.6347276611344042) circle (1.5pt); 
\draw<span style="color:black"> (0.8970544297579752,-1.7515883636198355) node {D}; 
\draw [fill=black] (5.129124186504486,2.3307859863504756) circle (1.5pt); 
\draw<span style="color:black"> (5.577597631435409,2.545303755952889) node {H}; 
\draw [fill=black] (1.9578489717298249,3.221264697454805) circle (1.5pt); 
\draw<span style="color:black"> (2.227044847720962,3.6962570022670116) node {E}; 
\draw [fill=black] (0.18326446775965563,0.4462352091352625) circle (1.5pt); 
\draw<span style="color:black"> (0.538980086460248,0.6014716066223708) node {G}; 
\end{scriptsize} 
\end{tikzpicture}

Έστω G,H τα σημεία τομής του μικρού κύκλου με τις AB,AC αντίστοιχα,και x'x η κοινή εφαπτομένη των δύο κύκλων.Από το θεώρημα χορδής και εφαπτομένης,\hat{BAD}=\hat{BDx'} και \hat{GMD}=\hat{GDx'}.Συμπεραίνουμε ότι \hat{BDG}=\hat{GMD}-\hat{BAD}=\hat{ADM},οπότε η DG είναι συμμετροδιάμεσος του τριγώνου \triangle{ABD},και άρα διέρχεται από το F.Ομοίως,η DH είναι συμμετροδιάμεσος του τριγώνου \triangle{ACD}.Με χρήση των εγγεγραμμένων τετραπλεύρων και των παραπάνω αποτελεσμάτων,προκύπτει ότι \hat{DNE}=\hat{DNM}+\hat{MDE}=\hat{BGD}+\hat{BDG}=180^{\circ}-\hat{ABD}.Θα αποδείξουμε ότι το τετράπλευρο AFDN είναι εγγράψιμο.Στη συνέχεια θα γράψουμε \hat{DNE}=180^{\circ}-\hat{ABD}=\hat{ACD}=\hat{FAD}=\hat{FND} (χρησιμοποιήθηκε και το θεώρημα χορδής και εφαπτομένης),από όπου θα προκύψει το ζητούμενο.

Όμως,το AFDN είναι εγγράψιμο επειδή \hat{FDN}=\hat{GDN}=\hat{AMN}=\hat{B}=180^{\circ}-(\hat{A}+\hat{C})=180^{\circ}-\hat{FAN},και το ζητούμενο έπεται.


Αν τα γεγονότα δεν συμφωνούν με τη θεωρία, τότε αλίμονο στα γεγονότα.

Albert Einstein
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης