Διέρχεται από το μέσο

Συντονιστές: vittasko, silouan, Doloros

giannimani
Δημοσιεύσεις: 80
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 6:26 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Διέρχεται από το μέσο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από giannimani » Δευ Απρ 16, 2018 4:02 pm

Σε οξυγώνιο τρίγωνο ABC θεωρούμε τα ύψη AA_{1}, BB_{1} και CC_{1} και έστω H το ορθόκεντρο αυτού του τριγώνου.
Από το H φέρουμε τις κάθετες στις ευθείες B_{1}C_{1} και A_{1}C_{1},οι οποίες τέμνουν τις ημιευθείες CA και CB στα σημεία P και Q αντίστοιχα.
Να αποδείξετε ότι η κάθετη που άγεται από το σημείο C στην ευθεία A_{1}B_{1} διέρχεται από το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος PQ.
probl_orth.png
probl_orth.png (53.31 KiB) Προβλήθηκε 87 φορές



Λέξεις Κλειδιά:
gavrilos
Δημοσιεύσεις: 1026
Εγγραφή: Παρ Δεκ 07, 2012 4:11 pm

Re: Διέρχεται από το μέσο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gavrilos » Δευ Απρ 16, 2018 6:54 pm

Καλησπέρα.

Είναι εύκολο να δούμε ότι η κάθετος από το C προς την A_1B_1 είναι ισογώνια με τη CC_1 ως προς τις CA,CB.Αρκεί λοιπόν να αποδείξουμε ότι η CC_1 είναι συμμετροδιάμεσος του τριγώνου \triangle{ABC}.Θα χρησιμοποιήσουμε την παρακάτω γνωστή ιδιότητα της συμμετροδιαμέσου:

Η C-συμμετροδιάμεσος του τριγώνου \triangle{CPQ} είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων P,για τα οποία ισχύει \cfrac{x}{y}=\cfrac{CQ}{CP},όπου x,y, οι αποστάσεις του P από τις CP,CQ αντίστοιχα.

Αρκεί λοιπόν να δείξουμε ότι \frac{HA_1}{HB_1}=\frac{CQ}{CP}\Leftrightarrow HA_1\cdot CP=HB_1\cdot CQ.Παρατηρούμε ότι \hat{HPB_1}=\hat{EB_1}=\hat{HB_1A_1} όπου χρησιμοποιήσαμε το γεγονός ότι τα ύψη του τριγώνου είναι διχοτόμοι των γωνιών του ορθικού.Επίσης,είναι σαφές ότι \hat{HA_1B_1}=\hat{HCB_1}.Από τα παραπάνω έπεται ότι \triangle{HA_1B_1}\simeq \triangle{HPC}\Rightarrow \frac{HA_1}{HC}=\frac{A_1B_1}{CP}\Rightarrow HA_1\cdot CP=CH\cdot A_1B_1.Με όμοιο τρόπο μπορούμε να αποδείξουμε ότι \triangle{HQC}\simeq \triangle{HA_1B_1},οπότε \frac{HB_1}{HC}=\frac{A_1B_1}{CQ}\Rightarrow HB_1\cdot CQ=CH\cdot A_1B_1\Rightarrow HB_1\cdot CQ=HA_1\cdot CP,το οποίο είναι το ζητούμενο.


Αν τα γεγονότα δεν συμφωνούν με τη θεωρία, τότε αλίμονο στα γεγονότα.

Albert Einstein
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης