Μία προκλητική διχοτόμηση.
Συντονιστές: vittasko, silouan, Doloros
- vittasko
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2230
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
- Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.
- Επικοινωνία:
Μία προκλητική διχοτόμηση.
Δίνεται τρίγωνο και έστω το ύψος του. Έστω οι κύκλοι με διάμετρο αντιστοίχως και ας είναι δύο τυχόντα σημεία τους ώστε να είναι και έστω τα σημεία και , μεταξύ των Αποδείξτε ότι η ευθεία που συνδέει τα σημεία έστω και , περνάει από το μέσον του τμήματος
Κώστας Βήττας.
ΥΓ. Η πρόταση αυτή είναι εμπνευσμένη από την λύση του φίλτατου Στάθη Κούτρα Εδώ και αφιερώνεται στον ίδιο σε ένδειξη τιμής.
ΥΓ. Η πρόταση αυτή είναι εμπνευσμένη από την λύση του φίλτατου Στάθη Κούτρα Εδώ και αφιερώνεται στον ίδιο σε ένδειξη τιμής.
Λέξεις Κλειδιά:
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Re: Μία προκλητική διχοτόμηση.
Φίλε Κώστα,vittasko έγραψε: ↑Πέμ Οκτ 12, 2017 6:28 pmΔίνεται τρίγωνο και έστω το ύψος του. Έστω οι κύκλοι με διάμετρο αντιστοίχως και ας είναι δύο τυχόντα σημεία τους ώστε να είναι και έστω τα σημεία και , μεταξύ των Αποδείξτε ότι η ευθεία που συνδέει τα σημεία έστω και , περνάει από το μέσον του τμήματος
f=185_t=59957.png
Κώστας Βήττας.
ΥΓ. Η πρόταση αυτή είναι εμπνευσμένη από την λύση του φίλτατου Στάθη Κούτρα Εδώ και αφιερώνεται στον ίδιο σε ένδειξη τιμής.
Σε ευχαριστώ θερμά για την αφιέρωση αυτή. Είναι μεγάλη τιμή για μένα ένας ΓΕΩΜΕΤΡΗΣ τέτοιου ΒΕΛΗΝΕΚΟΥΣ να μου κάνει αφιέρωση μια τόσο πανέμορφη άσκηση!!!!! που συνδυάζει στοιχειώδη με μη στοιχειώδη γεωμετρία, άκρως διδακτική ακόμα και για το σχολείο (αν βέβαια αφαιρέσουμε το διπλό λόγο). Και είναι βέβαιο ότι σε μια τέτοια πρόκληση δεν θα μπορούσα να μην ανταποκριθώ. Βρήκα λίγο χρόνο και έχω βρει και μια όμορφη λύση (όχι πολύπλοκη θα έλεγα) που είμαι βέβαιος ότι θα σου αρέσει (ελπίζω να μην είναι ίδια με αυτή που έχεις εσύ (πιστεύω ότι το κριτήριο συνευθειακότητας είναι ίδιο αλλά όχι η διαπραγμάτευση για την επίτευξή του)). Αν θέλεις την γράφω σήμερα. Αν θέλεις την αφήνω ακόμα μια μέρα να τη δοκιμάσουν και άλλοι γεωμέτρες και τη γράφω αύριο. Θα γίνει όπως επιθυμεί ο ΓΙΓΑΝΤΑΣ!!
Και πάλι σε ευχαριστώ πολύ. Να είσαι πάντα καλά και πάντα τέτοιες όμορφες εμπνεύσεις!!!!
Με όλη μου την εκτίμηση
Στάθης
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
- vittasko
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2230
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
- Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.
- Επικοινωνία:
Re: Μία προκλητική διχοτόμηση.
Στάθη σ' ευχαριστώ πολύ για το ενδιαφέρον σου. Χαίρομαι για την λύση σου και δεν σου κρύβω ότι εμένα με παίδεψε και ελπίζω να μην έχουμε ίδιες αποδείξεις.
Όχι τίποτε άλλο, αλλά για να έχουμε δύο διαφορετικές. Μόλις έχω καθαρογράψει την δική μου και θα σου την έδινα το ερχόμενο Σάββατο 21-10-2017 που θα βρεθούμε στην Αρκίτσα Φθιώτιδας.
Ανυπομονώ για την λύση σου και αν διαφέρουμε, θα βάλω την δική μου.
Κώστας Βήττας.
ΥΓ. Όσο για τις εμπνεύσεις που λες, όπως έχουμε πει: "Τίποτα δεν έρχεται ουρανοκατέβατο".
Όχι τίποτε άλλο, αλλά για να έχουμε δύο διαφορετικές. Μόλις έχω καθαρογράψει την δική μου και θα σου την έδινα το ερχόμενο Σάββατο 21-10-2017 που θα βρεθούμε στην Αρκίτσα Φθιώτιδας.
Ανυπομονώ για την λύση σου και αν διαφέρουμε, θα βάλω την δική μου.
Κώστας Βήττας.
ΥΓ. Όσο για τις εμπνεύσεις που λες, όπως έχουμε πει: "Τίποτα δεν έρχεται ουρανοκατέβατο".
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Re: Μία προκλητική διχοτόμηση.
Έστω και ας είναι οι ορθές προβολές των στην ευθεία αντίστοιχα.vittasko έγραψε: ↑Πέμ Οκτ 12, 2017 6:28 pmΔίνεται τρίγωνο και έστω το ύψος του. Έστω οι κύκλοι με διάμετρο αντιστοίχως και ας είναι δύο τυχόντα σημεία τους ώστε να είναι και έστω τα σημεία και , μεταξύ των Αποδείξτε ότι η ευθεία που συνδέει τα σημεία έστω και , περνάει από το μέσον του τμήματος
f=185_t=59957.png
Κώστας Βήττας.
ΥΓ. Η πρόταση αυτή είναι εμπνευσμένη από την λύση του φίλτατου Στάθη Κούτρα Εδώ και αφιερώνεται στον ίδιο σε ένδειξη τιμής.
Τότε . Από το Θεώρημα των τεμνομένων στο χορδών του και του θα έχουμε: .
Από . Είναι και με
( διάμεσος του ισοσκελούς τριγώνου ) και ( εγγεγραμμένη σε ημικύκλιο προκύπτει ότι και ομοίως , οπότε έχουμε:
. Με (κάθετες στην ) θα είναι: .
Με
,
δηλαδή οι σειρές έχουν ίσους διπλούς λόγους άρα και οι δέσμες έχουν ίσους διπλούς λόγους και επειδή προκύπτει ότι τα σημεία τομής των ομολόγων άλλων τριών ακτινών τους , δηλαδή τα είναι συνευθειακά και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
Με απέραντη εκτίμηση
Στάθης
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
- vittasko
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2230
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
- Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.
- Επικοινωνία:
Re: Μία προκλητική διχοτόμηση.
Στάθη, πολύ όμορφο. Προσπάθησα και εγώ να τεκμηριώσω το χρειαζούμενο κριτήριο Διπλού λόγου, όπως το ξεκίνησες Εδώ, αλλά δεν τα κατάφερα. Ακολούθησα την προσφιλή μου προσέγγιση με Λήμματα...
Δεν λέω, έχουν την χάρη τους γιατί επιλύονται και άλλα ενδιαφέροντα ενδιάμεσα αποτελέσματα, αλλά μακραίνουν την συνολική λύση και κουράζουν τον αναγνώστη.
Βάζω ( προς το παρόν σε συνημμένο ) την λύση που βρήκα, καθαρογραμμένη από το πρόχειρο όπως την έχω αυτήν την ώρα και αργότερα θα την μεταγράψω σε συμβατή μορφή ( LATEX ).
Να είσαι πάντα καλά και καλή αντάμωση στην Αρκίτσα.
Κώστας Βήττας.
Δεν λέω, έχουν την χάρη τους γιατί επιλύονται και άλλα ενδιαφέροντα ενδιάμεσα αποτελέσματα, αλλά μακραίνουν την συνολική λύση και κουράζουν τον αναγνώστη.
Βάζω ( προς το παρόν σε συνημμένο ) την λύση που βρήκα, καθαρογραμμένη από το πρόχειρο όπως την έχω αυτήν την ώρα και αργότερα θα την μεταγράψω σε συμβατή μορφή ( LATEX ).
Να είσαι πάντα καλά και καλή αντάμωση στην Αρκίτσα.
Κώστας Βήττας.
- Συνημμένα
-
- ΠΡΟΤΑΣΗ (f=185_t=59957).pdf
- Μία προκλητική διχοτόμηση.
- (231.78 KiB) Μεταφορτώθηκε 87 φορές
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 5 επισκέπτες