Μία προκλητική διχοτόμηση.

Συντονιστές: vittasko, silouan, Doloros

Άβαταρ μέλους
vittasko
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2031
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.

Μία προκλητική διχοτόμηση.

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από vittasko » Πέμ Οκτ 12, 2017 6:28 pm

Δίνεται τρίγωνο \vartriangle ABC και έστω AD το ύψος του. Έστω (K),\ (L), οι κύκλοι με διάμετρο AB,\ AC αντιστοίχως και ας είναι E,\ Z, δύο τυχόντα σημεία τους ώστε να είναι AE = AZ και έστω τα σημεία X\equiv (L)\cap EZ και Y\equiv (K)\cap EZ , μεταξύ των E,\ Z. Αποδείξτε ότι η ευθεία που συνδέει τα σημεία έστω P\equiv BZ\cap CE και Q\equiv BY\cap CX , περνάει από το μέσον M του τμήματος EZ.
f=185_t=59957.png
Μία προκλητική διχοτόμηση.
f=185_t=59957.png (29.11 KiB) Προβλήθηκε 1012 φορές
Κώστας Βήττας.

ΥΓ. Η πρόταση αυτή είναι εμπνευσμένη από την λύση του φίλτατου Στάθη Κούτρα Εδώ και αφιερώνεται στον ίδιο σε ένδειξη τιμής.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3961
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Μία προκλητική διχοτόμηση.

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Σάβ Οκτ 14, 2017 6:10 pm

vittasko έγραψε:
Πέμ Οκτ 12, 2017 6:28 pm
Δίνεται τρίγωνο \vartriangle ABC και έστω AD το ύψος του. Έστω (K),\ (L), οι κύκλοι με διάμετρο AB,\ AC αντιστοίχως και ας είναι E,\ Z, δύο τυχόντα σημεία τους ώστε να είναι AE = AZ και έστω τα σημεία X\equiv (L)\cap EZ και Y\equiv (K)\cap EZ , μεταξύ των E,\ Z. Αποδείξτε ότι η ευθεία που συνδέει τα σημεία έστω P\equiv BZ\cap CE και Q\equiv BY\cap CX , περνάει από το μέσον M του τμήματος EZ.
f=185_t=59957.png
Κώστας Βήττας.

ΥΓ. Η πρόταση αυτή είναι εμπνευσμένη από την λύση του φίλτατου Στάθη Κούτρα Εδώ και αφιερώνεται στον ίδιο σε ένδειξη τιμής.
Φίλε Κώστα,

Σε ευχαριστώ θερμά για την αφιέρωση αυτή. Είναι μεγάλη τιμή για μένα ένας
ΓΕΩΜΕΤΡΗΣ τέτοιου ΒΕΛΗΝΕΚΟΥΣ να μου κάνει αφιέρωση μια τόσο πανέμορφη άσκηση!!!!! που συνδυάζει στοιχειώδη με μη στοιχειώδη γεωμετρία, άκρως διδακτική ακόμα και για το σχολείο (αν βέβαια αφαιρέσουμε το διπλό λόγο). Και είναι βέβαιο ότι σε μια τέτοια πρόκληση δεν θα μπορούσα να μην ανταποκριθώ. Βρήκα λίγο χρόνο και έχω βρει και μια όμορφη λύση (όχι πολύπλοκη θα έλεγα) που είμαι βέβαιος ότι θα σου αρέσει (ελπίζω να μην είναι ίδια με αυτή που έχεις εσύ (πιστεύω ότι το κριτήριο συνευθειακότητας είναι ίδιο αλλά όχι η διαπραγμάτευση για την επίτευξή του)). Αν θέλεις την γράφω σήμερα. Αν θέλεις την αφήνω ακόμα μια μέρα να τη δοκιμάσουν και άλλοι γεωμέτρες και τη γράφω αύριο. Θα γίνει όπως επιθυμεί ο ΓΙΓΑΝΤΑΣ!!

Και πάλι σε ευχαριστώ πολύ. Να είσαι πάντα καλά και πάντα τέτοιες όμορφες εμπνεύσεις!!!!

Με όλη μου την εκτίμηση
Στάθης


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
vittasko
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2031
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.

Re: Μία προκλητική διχοτόμηση.

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από vittasko » Σάβ Οκτ 14, 2017 7:54 pm

Στάθη σ' ευχαριστώ πολύ για το ενδιαφέρον σου. Χαίρομαι για την λύση σου και δεν σου κρύβω ότι εμένα με παίδεψε και ελπίζω να μην έχουμε ίδιες αποδείξεις.

Όχι τίποτε άλλο, αλλά για να έχουμε δύο διαφορετικές. Μόλις έχω καθαρογράψει την δική μου και θα σου την έδινα το ερχόμενο Σάββατο 21-10-2017 που θα βρεθούμε στην Αρκίτσα Φθιώτιδας.

Ανυπομονώ για την λύση σου και αν διαφέρουμε, θα βάλω την δική μου.

Κώστας Βήττας.

ΥΓ. Όσο για τις εμπνεύσεις που λες, όπως έχουμε πει: "Τίποτα δεν έρχεται ουρανοκατέβατο".


Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3961
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Μία προκλητική διχοτόμηση.

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Σάβ Οκτ 14, 2017 9:44 pm

vittasko έγραψε:
Πέμ Οκτ 12, 2017 6:28 pm
Δίνεται τρίγωνο \vartriangle ABC και έστω AD το ύψος του. Έστω (K),\ (L), οι κύκλοι με διάμετρο AB,\ AC αντιστοίχως και ας είναι E,\ Z, δύο τυχόντα σημεία τους ώστε να είναι AE = AZ και έστω τα σημεία X\equiv (L)\cap EZ και Y\equiv (K)\cap EZ , μεταξύ των E,\ Z. Αποδείξτε ότι η ευθεία που συνδέει τα σημεία έστω P\equiv BZ\cap CE και Q\equiv BY\cap CX , περνάει από το μέσον M του τμήματος EZ.
f=185_t=59957.png
Κώστας Βήττας.

ΥΓ. Η πρόταση αυτή είναι εμπνευσμένη από την λύση του φίλτατου Στάθη Κούτρα Εδώ και αφιερώνεται στον ίδιο σε ένδειξη τιμής.
 \bullet Έστω T\equiv BC\cap EZ και ας είναι {B}',{C}' οι ορθές προβολές των B,C στην ευθεία EZ αντίστοιχα.

Τότε \left\{ \begin{gathered} 
  \left( {Z,Y,M,T} \right) = \dfrac{{ZM}}{{MY}} \div \dfrac{{ZT}}{{TY}} = \dfrac{{ZM}}{{MY}} \cdot \dfrac{{TY}}{{ZT}} \hfill \\ 
  \left( {E,X,M,T} \right) = \dfrac{{EM}}{{MX}} \div \dfrac{{ET}}{{TX}} = \dfrac{{EM}}{{MX}} \cdot \dfrac{{TX}}{{ET}} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \dfrac{{\left( {Z,Y,M,T} \right)}}{{\left( {E,X,M,T} \right)}} = \dfrac{{\dfrac{{ZM}}{{MY}} \cdot \dfrac{{TY}}{{ZT}}}}{{\dfrac{{EM}}{{MX}} \cdot \dfrac{{TX}}{{ET}}}}\mathop  = \limits^{ZM = EM} \dfrac{{MX \cdot TY \cdot ET}}{{MY \cdot TX \cdot ZT}}:\left( 1 \right).
Μια προκλητική διχοτόμηση.png
Μια προκλητική διχοτόμηση.png (83.28 KiB) Προβλήθηκε 890 φορές
 \bullet Από το Θεώρημα των τεμνομένων στο T χορδών EY,BD του \left( K \right) και ZX,CD του \left( L \right) θα έχουμε: \left\{ \begin{gathered} 
  ET \cdot TY = TB \cdot TD \hfill \\ 
  TX \cdot ZT = TD \cdot TC \hfill \\  
\end{gathered}  \right.\mathop  \Rightarrow \limits^{\left( : \right)} \dfrac{{TY}}{{TX}} \cdot \dfrac{{ET}}{{ZT}} = \dfrac{{TB}}{{TC}}:\left( 3 \right).

Από \left( 2 \right),\left( 3 \right) \Rightarrow \boxed{\dfrac{{\left( {Z,Y,M,T} \right)}}{{\left( {E,X,M,T} \right)}} = \dfrac{{MX}}{{MY}} \cdot \dfrac{{TB}}{{TC}}}:\left( 4 \right). Είναι \angle AXM \equiv \angle AXZ\mathop  = \limits^{\varepsilon \gamma \gamma \varepsilon \gamma \rho \alpha \mu \mu \varepsilon \nu \varepsilon \varsigma \,\,\sigma \tau o\,\,\iota \delta \iota o\,\,\tau o\xi o\,\,\tau o\upsilon \,\,\left( L \right)} \angle ACZ και με AM\bot EZ

( AM διάμεσος του ισοσκελούς τριγώνου \vartriangle AEZ ) και AZ\bot CZ (\angle AZC={{90}^{0}} εγγεγραμμένη σε ημικύκλιο προκύπτει ότι \vartriangle AMX\sim \vartriangle AZC και ομοίως \vartriangle AMY\sim \vartriangle AEB, οπότε έχουμε:

\left\{ \begin{gathered} 
  \vartriangle AMX \sim \vartriangle AZC \Rightarrow \dfrac{{MX}}{{ZC}} = \dfrac{{AM}}{{AZ}} \\  
  \vartriangle AMY \sim \vartriangle AEB \Rightarrow \dfrac{{MY}}{{EB}} = \dfrac{{AM}}{{AE}} \\  
\end{gathered}  \right.\mathop  \Rightarrow \limits^{AZ = AE} \dfrac{{MX}}{{ZC}} = \dfrac{{MY}}{{EB}} \Rightarrow \boxed{\dfrac{{MX}}{{MY}} = \dfrac{{ZC}}{{EB}}}:\left( 5 \right).
Μια προκλητική διχοτόμηση.png
Μια προκλητική διχοτόμηση.png (83.28 KiB) Προβλήθηκε 890 φορές
 \bullet Με BB'\parallel CC' (κάθετες στην EZ) θα είναι: \boxed{\dfrac{{BB'}}{{CC'}} = \dfrac{{TB}}{{TC}}}:\left( 6 \right).

Με AE = AZ \Rightarrow \angle AEZ = \angle AZE \mathop  \Rightarrow \limits^{\angle AEB = \angle AZC = {{90}^0}(\varepsilon \gamma \gamma \varepsilon \gamma \rho \alpha \mu \mu \varepsilon \nu \varepsilon \varsigma \,\,\sigma \varepsilon \,\,\eta \mu \iota \kappa \upsilon \kappa \lambda \iota \alpha )} \angle BEB' = \angle CZC' \mathop  \Rightarrow \limits^{\angle EB'B = \angle CC'Z = {{90}^0}} \vartriangle BB'E \sim \vartriangle CC'Z \Rightarrow

\dfrac{{BB'}}{{CC'}} = \dfrac{{EB}}{{ZC}}\mathop  \Rightarrow \limits^{\left( 4 \right),\left( 5 \right),\left( 6 \right)} \dfrac{{\left( {Z,Y,M,T} \right)}}{{\left( {E,X,M,T} \right)}} = 1 \Rightarrow \left( {Z,Y,M,T} \right) = \left( {E,X,M,T} \right),

δηλαδή οι σειρές \left( {Z,Y,M,T} \right) = \left( {E,X,M,T} \right) έχουν ίσους διπλούς λόγους άρα και οι δέσμες B.ZYMT,C.EXMT έχουν ίσους διπλούς λόγους και επειδή BT\equiv CT\equiv BC προκύπτει ότι τα σημεία τομής των ομολόγων άλλων τριών ακτινών τους , δηλαδή τα P\equiv BZ\cap CE,Q\equiv BY\cap CX,M\equiv BM\cap CM είναι συνευθειακά και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.


Με απέραντη εκτίμηση
Στάθης


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
vittasko
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2031
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.

Re: Μία προκλητική διχοτόμηση.

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από vittasko » Κυρ Οκτ 15, 2017 10:16 am

Στάθη, πολύ όμορφο. Προσπάθησα και εγώ να τεκμηριώσω το χρειαζούμενο κριτήριο Διπλού λόγου, όπως το ξεκίνησες Εδώ, αλλά δεν τα κατάφερα. Ακολούθησα την προσφιλή μου προσέγγιση με Λήμματα...

Δεν λέω, έχουν την χάρη τους γιατί επιλύονται και άλλα ενδιαφέροντα ενδιάμεσα αποτελέσματα, αλλά μακραίνουν την συνολική λύση και κουράζουν τον αναγνώστη.

Βάζω ( προς το παρόν σε συνημμένο ) την λύση που βρήκα, καθαρογραμμένη από το πρόχειρο όπως την έχω αυτήν την ώρα και αργότερα θα την μεταγράψω σε συμβατή μορφή ( LATEX ).

Να είσαι πάντα καλά και καλή αντάμωση στην Αρκίτσα.

Κώστας Βήττας.
Συνημμένα
ΠΡΟΤΑΣΗ (f=185_t=59957).pdf
Μία προκλητική διχοτόμηση.
(231.78 KiB) Μεταφορτώθηκε 67 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης