Ίσα τμήματα! (2)
Συντονιστές: vittasko, silouan, Doloros
- Διονύσιος Αδαμόπουλος
- Δημοσιεύσεις: 807
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
- Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας
Ίσα τμήματα! (2)
Έστω κύκλος με κέντρο και σημείο στο εξωτερικό του. Φέρνουμε τις δύο τυχαίες τέμνουσες και στον κύκλο. Έστω το αντιδιαμετρικό του και του στον κύκλο. Έστω ότι οι και τέμνουν την στα αντίστοιχα. Να αποδειχθεί πως .
(είναι μια πρώτη γενίκευση του προβλήματος που είδαμε εδώ)
(είναι μια πρώτη γενίκευση του προβλήματος που είδαμε εδώ)
Houston, we have a problem!
Λέξεις Κλειδιά:
- Διονύσιος Αδαμόπουλος
- Δημοσιεύσεις: 807
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
- Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας
Re: Ίσα τμήματα! (2)
Ωραίο...για κάποιο λόγο με δυσκόλεψε αρκετά(δοκίμασα διάφορα που απέτυχαν)...Θα αποδείξω το ισοδύναμο:Άν (),τότε τα είναι συνευθειακά.Δηλαδή θα δείξω ότι με τομή των .Με τομή .Με κατάλληλους νόμους ημιτόνων στα παίρνουμε (λόγω καθετοτήτων).Ομοίως, , και αντικαθιστώντας στην αρκεί να δείξω ότι ,από το οποίο,απλοποιώντας μένει που ισχύει από τα όμοια τρίγωνα .
τελευταία επεξεργασία από min## σε Σάβ Σεπ 30, 2017 4:37 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1797
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Ίσα τμήματα! (2)
Η άχαρη λύση με τους μιγαδικούς στον αναφερθέν σύνδεσμο μπορεί εύκολα και πιο φυσικά, να προσαρμοστεί στην παρούσα περίπτωση.Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε: ↑Παρ Σεπ 22, 2017 11:29 pmΈστω κύκλος με κέντρο και σημείο στο εξωτερικό του. Φέρνουμε τις δύο τυχαίες τέμνουσες και στον κύκλο. Έστω το αντιδιαμετρικό του και του στον κύκλο. Έστω ότι οι και τέμνουν την στα αντίστοιχα. Να αποδειχθεί πως .
(είναι μια πρώτη γενίκευση του προβλήματος που είδαμε εδώ)
Ίσα τμήματα! (2).png
Αυτή την φορά για τα σημεία έχουμε
Αρκεί λοιπόν να δείξουμε ότι (1), ή ισοδύναμα
(2)
Από την άλλη το σημείο είναι το σημείο τομής των χορδών που ορίζονται από τους μιγαδικούς και καθώς και από τους μιγαδικούς και . Οπότε για τον μιγαδικό θα ισχύει
Εξισώνοντας τις παραπάνω σχέσεις βρίσκουμε
Δηλαδή η σχέση (2) ισχύει, άρα και η (1) γεγονός που αποδεικνύει το ζητούμενο.
- Διονύσιος Αδαμόπουλος
- Δημοσιεύσεις: 807
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
- Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας
Re: Ίσα τμήματα! (2)
Ωραίες λύσεις!
Μια διαφορετική αντιμετώπιση: Θα αποδείξουμε αρχικά ένα "λήμμα":
Έχουμε το εγγράψιμο, σε κύκλο με κέντρο , τετράπλευρο και έστω είναι το συμμετρικό του ως προς το . Έστω η τομή της και και η τομή της και . Να αποδειχθεί πως είναι συνευθειακά και πως .
Έστω η τομή του και του . Από για το μη κυρτό αλλά εγγράψιμο σε κύκλο εξάγωνο έχουμε πως το σημείο τομής των και , δηλαδή το , το σημείο τομής των και , δηλαδή το , το σημείο τομής των και , δηλαδή το , είναι συνευθειακά σημεία.
Από όμως για το μη κυρτό αλλά εγγράψιμο σε κύκλο εξάγωνο έχουμε πως το σημείο τομής των και , δηλαδή το , το σημείο τομής των και , δηλαδή το , το σημείο τομής των και , δηλαδή το , είναι συνευθειακά σημεία.
Έπεται λοιπόν από τις δύο παραπάνω συνευθειακότητες ότι τα σημεία είναι συνευθειακά.
Ακόμα έχουμε τώρα πως τα τετράπλευρα και είναι όμοια. Επομένως έχουμε πως . Από εγγεγραμμένες όμως έχουμε πως . Άρα και αφού έχουμε πως .
Ας γυρίσουμε πίσω στο αρχικό μας πρόβλημα. Από το προηγούμενο λήμμα αποδείξαμε πως τα σημεία είναι συνευθειακά, που σημαίνει πως τα σημεία που η τέμνει τις θα είναι τα του λήμματος, με άλλα λόγια πράγματι θα ισχύει πως .
Μια διαφορετική αντιμετώπιση: Θα αποδείξουμε αρχικά ένα "λήμμα":
Έχουμε το εγγράψιμο, σε κύκλο με κέντρο , τετράπλευρο και έστω είναι το συμμετρικό του ως προς το . Έστω η τομή της και και η τομή της και . Να αποδειχθεί πως είναι συνευθειακά και πως .
Έστω η τομή του και του . Από για το μη κυρτό αλλά εγγράψιμο σε κύκλο εξάγωνο έχουμε πως το σημείο τομής των και , δηλαδή το , το σημείο τομής των και , δηλαδή το , το σημείο τομής των και , δηλαδή το , είναι συνευθειακά σημεία.
Από όμως για το μη κυρτό αλλά εγγράψιμο σε κύκλο εξάγωνο έχουμε πως το σημείο τομής των και , δηλαδή το , το σημείο τομής των και , δηλαδή το , το σημείο τομής των και , δηλαδή το , είναι συνευθειακά σημεία.
Έπεται λοιπόν από τις δύο παραπάνω συνευθειακότητες ότι τα σημεία είναι συνευθειακά.
Ακόμα έχουμε τώρα πως τα τετράπλευρα και είναι όμοια. Επομένως έχουμε πως . Από εγγεγραμμένες όμως έχουμε πως . Άρα και αφού έχουμε πως .
Ας γυρίσουμε πίσω στο αρχικό μας πρόβλημα. Από το προηγούμενο λήμμα αποδείξαμε πως τα σημεία είναι συνευθειακά, που σημαίνει πως τα σημεία που η τέμνει τις θα είναι τα του λήμματος, με άλλα λόγια πράγματι θα ισχύει πως .
Houston, we have a problem!
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 5 επισκέπτες