mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Σεπ 12, 2017 8:00 pm**

: Μια όμορφη συνευθειακότητα.png (79.51 KiB) Προβλήθηκε 1536 φορές

Έστω τρίγωνο $\vartriangle ABC$ και ας είναι τυχόν σημείο του επιπέδου του. Αν είναι τα σημεία τομής των εκ των παραλλήλων προς τις με τις ευθείες αντίστοιχα, να δειχθεί ότι τα σημεία ${A}''\equiv AN\cap {B}'{C}',{B}''\equiv BL\cap {C}'{A}',{C}''\equiv CM\cap {A}'{B}'$ είναι συνευθειακά, όπου είναι τα μέσα των αντίστοιχα.

Στάθης

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Σεπ 12, 2017 8:39 pm**

Με Μενελάου στα $\Delta CC'B',\Delta AA'C',BB'A'$ για τις διατέμνουσες ANA'',B''BL,MCC''

και λόγω των μέσων παίρνουμε : $\frac{AB'}{CA}=\frac{B'A''}{C'A''},\frac{BC'}{BA}=\frac{B''C'}{B''A'},\frac{CA'}{BC}=\frac{C''A'}{C''B}$ .Για το ζητούμενο αρκεί $\frac{B'A''}{C'A''} \frac{B''C'}{B''A'} \frac{C''A'}{C''B}=1$ ,όμως, η προηγούμενη παράσταση ισούται με $\frac{AB'}{CA} \frac{BC'}{BA} \frac{CA'}{BC}$ και άρα αρκεί $\frac{AB'}{CA} \frac{BC'}{BA} \frac{CA'}{BC}=1$ .Παίρνοντας τις τομές των AS,BS,CS

με τις

και λόγω των παραλληλιών,αρκεί να αποδειχτεί ότι οι AS,BS,CS

συντρέχουν(αντίστροφο Ceva) το οποίο και ισχύει...

mathematica.gr

Μια όμορφη συνευθειακότητα!

Μια όμορφη συνευθειακότητα!

Re: Μια όμορφη συνευθειακότητα!