Μεταβλητό σημείο επί δοσμένου κύκλου.

#1

Εμπνευσμένο από Εδώ.

Με κοινή χορδή , δίνονται δύο άνισοι κύκλοι $(O),\ (O')$ ακτίνων $R,\ R'$ αντιστοίχως και ας είναι . Τυχών κύκλος , εφάπτεται εξωτερικά στον κύκλο στο σημείο έστω και εσωτερικά στον κύκλο , στο σημείο έστω . Η ευθεία τέμνει την διάκεντρο των δοσμένων κύκλων στο σημείο έστω και έστω το σημείο $P\equiv (K)\cap AT$ . Αποδείξτε ότι το σημείο $Q\equiv AN\cap SP$ ανήκει στο κύκλο .

Κώστας Βήττας.

#2

vittasko έγραψε:Εμπνευσμένο από Εδώ.

Με κοινή χορδή , δίνονται δύο άνισοι κύκλοι $(O),\ (O')$ ακτίνων $R,\ R'$ αντιστοίχως και ας είναι . Τυχών κύκλος , εφάπτεται εξωτερικά στον κύκλο στο σημείο έστω και εσωτερικά στον κύκλο , στο σημείο έστω . Η ευθεία τέμνει την διάκεντρο των δοσμένων κύκλων στο σημείο έστω και έστω το σημείο $P\equiv (K)\cap AT$ . Αποδείξτε ότι το σημείο $Q\equiv AN\cap SP$ ανήκει στο κύκλο .

Κώστας Βήττας.

: Μεταβλητό σημείο επί δοσμένου κύκλου.png (30.73 KiB) Προβλήθηκε 1150 φορές

Έστω $Q\equiv SP\cap \left( {{O}'} \right),Q\ne S$ και αρκεί ως ισοδύναμο πρόβλημα να δείξουμε ότι είναι συνευθειακά.

Από την προφανή ομοιότητα των ισοσκελών τριγώνων $\vartriangle {O}'QS,\vartriangle KPS$ (που μοιράζονται τη γωνία των «βάσεών» τους $\angle S$ )
προκύπτει $\angle KPS = \angle O'QS \Rightarrow \boxed{KP\parallel O'Q}:\left( 1 \right)$ .

Από την ομοιότητα των ισοσκελών τριγώνων $\vartriangle TKP,\vartriangle TOA$ αφού $\angle KTP\mathop = \limits^{\kappa \alpha \tau \alpha \kappa o\rho \upsilon \varphi \eta \nu } \angle OTA \Rightarrow$ $KP\parallel OA\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 1 \right)} \boxed{O'Q\parallel OA}:\left( 2 \right)$ .

Από το Θεώρημα του Μενελάου στο τρίγωνο $\vartriangle O{O}'K$ με διατέμνουσα την $STN \Rightarrow \dfrac{{SO'}}{{SK}} \cdot \dfrac{{TK}}{{TO}} \cdot \dfrac{{NO}}{{NO'}} = 1 \Rightarrow$

$\dfrac{{R'}}{r} \cdot \dfrac{r}{R} \cdot \dfrac{{NO}}{{NO'}} = 1 \Rightarrow \dfrac{{NO}}{{NO'}} = \dfrac{R}{{R'}} =$ $\dfrac{{OA}}{{O'Q}}\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 2 \right)\,\,\& \,\,O,N,O'\,\,\sigma \upsilon \nu \varepsilon \upsilon \theta \varepsilon \iota \alpha \kappa \alpha } A,N,Q$ συνευθειακά και το ισοδύναμο πρόβλημα έχει αποδειχθεί.

Στάθης.

Υ.Σ. Κώστα διόρθωσα και το τυπογραφικό σου σε $P\equiv (K)\cap AT$ αντί του $P\equiv (O')\cap AT$ και πες μου αν επικοινώνησες με Δημήτρη και αν θα έρθεις το Σαββατοκύριακο Αιδηψό. Εγώ θα είμαι αύριο βράδυ εκεί και φεύγω Κυριακή απόγευμα

#3

Στάθη, σ' ευχαριστώ πολύ.

Μίλησα με τον Δημήτρη και θα είμαστε στα μέρη σας το Σαββατοκύριακο. Έχει κανονιστεί ( μετά από αρκετό καιρό ) και ελπίζω ότι θα βρεθούμε.

Κώστας Βήττας

Μεταβλητό σημείο επί δοσμένου κύκλου.

Μεταβλητό σημείο επί δοσμένου κύκλου.

Re: Μεταβλητό σημείο επί δοσμένου κύκλου.

Re: Μεταβλητό σημείο επί δοσμένου κύκλου.

Μέλη σε σύνδεση