Μεταβλητό σημείο επί δοσμένου κύκλου.

Συντονιστές: vittasko, silouan, Doloros

Άβαταρ μέλους
vittasko
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2068
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.

Μεταβλητό σημείο επί δοσμένου κύκλου.

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από vittasko » Πέμ Αύγ 03, 2017 3:18 pm

Εμπνευσμένο από Εδώ.

Με κοινή χορδή AB, δίνονται δύο άνισοι κύκλοι (O),\ (O') ακτίνων R,\ R' αντιστοίχως και ας είναι R < R'. Τυχών κύκλος (K), εφάπτεται εξωτερικά στον κύκλο (O) στο σημείο έστω T και εσωτερικά στον κύκλο (O'), στο σημείο έστω S. Η ευθεία ST τέμνει την διάκεντρο OO' των δοσμένων κύκλων στο σημείο έστω N και έστω το σημείο P\equiv (K)\cap AT. Αποδείξτε ότι το σημείο Q\equiv AN\cap SP ανήκει στο κύκλο (O').

Κώστας Βήττας.
Συνημμένα
f=185_t=59443.png
Μεταβλητό σημείο επί δοσμένου κύκλου.
f=185_t=59443.png (41.57 KiB) Προβλήθηκε 825 φορές



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4036
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Μεταβλητό σημείο επί δοσμένου κύκλου.

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Πέμ Αύγ 03, 2017 5:05 pm

vittasko έγραψε:Εμπνευσμένο από Εδώ.

Με κοινή χορδή AB, δίνονται δύο άνισοι κύκλοι (O),\ (O') ακτίνων R,\ R' αντιστοίχως και ας είναι R < R'. Τυχών κύκλος (K), εφάπτεται εξωτερικά στον κύκλο (O) στο σημείο έστω T και εσωτερικά στον κύκλο (O'), στο σημείο έστω S. Η ευθεία ST τέμνει την διάκεντρο OO' των δοσμένων κύκλων στο σημείο έστω N και έστω το σημείο P\equiv (K)\cap AT. Αποδείξτε ότι το σημείο Q\equiv AN\cap SP ανήκει στο κύκλο (O').

Κώστας Βήττας.
Μεταβλητό σημείο επί δοσμένου κύκλου.png
Μεταβλητό σημείο επί δοσμένου κύκλου.png (30.73 KiB) Προβλήθηκε 838 φορές
Έστω Q\equiv SP\cap \left( {{O}'} \right),Q\ne S και αρκεί ως ισοδύναμο πρόβλημα να δείξουμε ότι A,N,Q είναι συνευθειακά.

Από την προφανή ομοιότητα των ισοσκελών τριγώνων \vartriangle {O}'QS,\vartriangle KPS (που μοιράζονται τη γωνία των «βάσεών» τους \angle S )
προκύπτει \angle KPS = \angle O'QS \Rightarrow \boxed{KP\parallel O'Q}:\left( 1 \right).

Από την ομοιότητα των ισοσκελών τριγώνων \vartriangle TKP,\vartriangle TOA αφού \angle KTP\mathop  = \limits^{\kappa \alpha \tau \alpha \kappa o\rho \upsilon \varphi \eta \nu } \angle OTA \Rightarrow KP\parallel OA\mathop  \Rightarrow \limits^{\left( 1 \right)} \boxed{O'Q\parallel OA}:\left( 2 \right).

Από το
Θεώρημα του Μενελάου στο τρίγωνο \vartriangle O{O}'K με διατέμνουσα την STN \Rightarrow \dfrac{{SO'}}{{SK}} \cdot \dfrac{{TK}}{{TO}} \cdot \dfrac{{NO}}{{NO'}} = 1 \Rightarrow

\dfrac{{R'}}{r} \cdot \dfrac{r}{R} \cdot \dfrac{{NO}}{{NO'}} = 1 \Rightarrow \dfrac{{NO}}{{NO'}} = \dfrac{R}{{R'}} = \dfrac{{OA}}{{O'Q}}\mathop  \Rightarrow \limits^{\left( 2 \right)\,\,\& \,\,O,N,O'\,\,\sigma \upsilon \nu \varepsilon \upsilon \theta \varepsilon \iota \alpha \kappa \alpha } A,N,Q συνευθειακά και το ισοδύναμο πρόβλημα έχει αποδειχθεί.


Στάθης.

Υ.Σ. Κώστα διόρθωσα και το τυπογραφικό σου σε P\equiv (K)\cap AT αντί του P\equiv (O')\cap AT και πες μου αν επικοινώνησες με Δημήτρη και αν θα έρθεις το Σαββατοκύριακο Αιδηψό. Εγώ θα είμαι αύριο βράδυ εκεί και φεύγω Κυριακή απόγευμα


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
vittasko
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2068
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.

Re: Μεταβλητό σημείο επί δοσμένου κύκλου.

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από vittasko » Πέμ Αύγ 03, 2017 5:34 pm

Στάθη, σ' ευχαριστώ πολύ.

Μίλησα με τον Δημήτρη και θα είμαστε στα μέρη σας το Σαββατοκύριακο. Έχει κανονιστεί ( μετά από αρκετό καιρό ) και ελπίζω ότι θα βρεθούμε.

Κώστας Βήττας


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης