Εὐκλείδεια Ρωσικοῦ τουρνουὰ πόλεων
Συντονιστές: vittasko, silouan, Doloros
- Γ.-Σ. Σμυρλής
- Δημοσιεύσεις: 578
- Εγγραφή: Κυρ Οκτ 14, 2012 9:47 am
- Τοποθεσία: Λευκωσία, Κύπρος
Εὐκλείδεια Ρωσικοῦ τουρνουὰ πόλεων
ΠΡΟΒΛΗΜΑ. Ἔστω Δ σημεῖο τῆς πλευρᾶς ΒΓ τριγώνου ΑΒΓ, καὶ Κ τὸ σημεῖο τομῆς τῆς ἐξωτερικῆς κοινῆς ἐφαπτομένης (ὄχι τῆς ΒΓ, ἀλλὰ τῆς ἄλλης ἐξωτερικῆς κοινῆς ἐφαπτομένης) τῶν ἐγγεγραμμένων κύκλων τῶν τριγώνων ΑΒΔ καὶ ΑΓΔ μὲ τὴν ΑΔ. Δείξατε ὅτι τὸ μῆκος τῆς ΑΚ δὲν ἐξαρτᾶται ἀπὸ τὴν ἐπιλογὴ τοῦ σημείου Δ.
Λέξεις Κλειδιά:
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Re: Εὐκλείδεια Ρωσικοῦ τουρνουὰ πόλεων
Ας είναι τα σημεία επαφής του έγκυκλου του τριγώνου με τις αντίστοιχα. Τότε σύμφωνα με το παρακάτω ΛΗΜΜΑ (Κώστας Βήττας) τα σημεία είναι ομοκυκλικά , όπου είναι τα έγκεντρα των τριγώνων αντίστοιχα. Αλλά (διχοτόμοι εφεξής και παραπληρωματικών γωνιών) και για τον ίδιο λόγο , οπότε τα σημεία είναι ομοκυκλικά (το τετράπλευρο έχει δύο απέναντι γωνίες παραπληρωματικές (ορθές)), άρα τελικά τα σημεία είναι ομοκυκλικά. Έτσι έχουμε:Γ.-Σ. Σμυρλής έγραψε:ΠΡΟΒΛΗΜΑ. Ἔστω Δ σημεῖο τῆς πλευρᾶς ΒΓ τριγώνου ΑΒΓ, καὶ Κ τὸ σημεῖο τομῆς τῆς ἐξωτερικῆς κοινῆς ἐφαπτομένης (ὄχι τῆς ΒΓ, ἀλλὰ τῆς ἄλλης ἐξωτερικῆς κοινῆς ἐφαπτομένης) τῶν ἐγγεγραμμένων κύκλων τῶν τριγώνων ΑΒΔ καὶ ΑΓΔ μὲ τὴν ΑΔ. Δείξατε ὅτι τὸ μῆκος τῆς ΑΚ δὲν ἐξαρτᾶται ἀπὸ τὴν ἐπιλογὴ τοῦ σημείου Δ.
[attachment=0]Ευκλείδεια Ρωσικού τουρνουά πόλεων.png[/attachment]
Αλλά
Επίσης είναι
και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
Στάθης
- Συνημμένα
-
- Ευκλείδεια Ρωσικού τουρνουά πόλεων.png (43.24 KiB) Προβλήθηκε 1315 φορές
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Re: Εὐκλείδεια Ρωσικοῦ τουρνουὰ πόλεων
vittasko έγραψε:Απόδειξη. - Έστω το σημείο επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου του δοσμένου τριγώνου , στην πλευρά και έστω τα σημεία επαφής των εγγεγραμμένων κύκλων των τριγώνων αντιστοίχως, στην ίδια πλευρά.vittasko έγραψε:ΛΗΜΜΑ 2. - Δίνεται τρίγωνο και έστω τυχόν σημείο επί της πλευράς του Ο εγγεγραμμένος κύκλος του εφάπτεται της στο σημείο έστω και έστω τα έγκεντρα των τριγώνων Αποδείξτε ότι τα σημεία είναι ομοκυκλικά.
Στο τρίγωνο έχουμε ( γνωστό αποτέλεσμα ).
Ομοίως, στα τρίγωνα έχουμε και
Από και
Έστω το μέσον του και η προβολή του επί της και λόγω του τραπεζίου , ισχύει προφανώς
Από , προκύπτει ότι το μέσον του , ταυτίζεται επίσης με το μέσον του και άρα έχουμε
Αλλά, στο ορθογώνιο τρίγωνο , λόγω των ως διχοτόμων παραπληρωματικών γωνιών, έχουμε ότι
Από και το Λήμμα 2 έχει αποδειχθεί.
Κώστας Βήττας.
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
- Γ.-Σ. Σμυρλής
- Δημοσιεύσεις: 578
- Εγγραφή: Κυρ Οκτ 14, 2012 9:47 am
- Τοποθεσία: Λευκωσία, Κύπρος
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες