Σύγκλιση στο σημείο Lemoine

#1

: Σύγκλιση στο σημείο Lemoine.png (35.02 KiB) Προβλήθηκε 1188 φορές

Έστω τα μέσα των πλευρών τριγώνου $\vartriangle ABC$ και τα ίχνη των υψών στις ίδιες πλευρές του αντίστοιχα. Να δειχθεί ότι $L\equiv {A}'{D}'\cap {B}'{E}'\cap {C}'{Z}'$ είναι το σημείο Lemoine του τριγώνου $\vartriangle ABC$ , όπου ${D}'\equiv AD\cap {B}'{C}',{E}'\equiv BE\cap {C}'{A}',{Z}'\equiv CZ\cap {A}'{B}'$

Στάθης

Υ.Σ. Είναι πολύ πιθανόν να έχει ξανασυζητηθεί

#2

Αρκεί ως ισοδύναμο ζητούμενο να αποδειχθεί, ότι μία έστω από τις ευθείες $A'D',\ B'E',\ C'Z'$ της εκφώνησης, περνάει από το Σημείο Lemoine

, του δοσμένου τριγώνου $\vartriangle ABC$ .

Αλλάζω τους συμβολισμούς, για ( δική μου ) ευκολία.

Έτσι, $AD,\ BE,\ CF$ είναι τα ύψη του $\vartriangle ABC$ και

το μέσον της πλευράς

.

Θα αποδειχθεί ως ισοδύναμο ζητούμενο, ότι η ευθεία

, όπου $P\equiv AM\cap EF$ , περνάει από το Σημείο Lemoine

, του $\vartriangle ABC$ .

$\bullet$ Έστω

, το σημείο τομής των εφαπτομένων του περικύκλου (O)

του $\vartriangle ABC$ , στα σημεία $B,\ C$ και ας είναι

, το σημείο τομής των εφαπτομένων στα σημεία $A,\ B$ .

Έστω το σημείο $L\equiv AS\cap CT$ , ως το Σημείο Lemoine του $\vartriangle ABC$ ( γνωστό αποτέλεσμα ).

Θα αποδειχθεί ότι SM = MK

, όπου $K\equiv SM\cap DL$ .

: Σύγκλιση στο Σημείο Lemoine.; f=185_t=57447.png (30.17 KiB) Προβλήθηκε 1078 φορές

$\bullet$ Έστω το σημείο $Z\equiv (O)\cap CT$ και έχουμε ότι το τετράπλευρο AZBC

είναι αρμονικό ( γνωστό αποτέλεσμα ) και επομένως, η δέσμη $C\ldotp AZBS$ είναι αρμονική.

Η αρμονική αυτή δέσμη τέμνεται από την ευθεία

και άρα, η σημειοσειρά $A,\ L,\ Q,\ S$ είναι αρμονική, όπου $Q\equiv BC\cap AS$ .

Άρα, η δέσμη $D\ldotp AEQS$ είναι επίσης αρμονική.

Η δέσμη αυτή τώρα, τέμνεται από την ευθεία $SO\parallel AD$ , με

το περίκεντρο του $\vartriangle ABC$ και άρα, ισχύει $\boxed{SM = MK}$ .

$\bullet$ Σύμφωνα με το παρακάτω Λήμμα, έχουμε ότι η ευθεία

περνάει επίσης από το σημείο

.

Συμπεραίνεται έτσι, ότι οι ευθείες $DL,\ DP$ ταυτίζονται και το ισοδύναμο ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

ΛΗΜΜΑ. - Δίνεται τρίγωνο $\vartriangle ABC$ , εγγεγραμμένο σε κύκλο , με $AD,\ BE,\ CF$ τα ύψη του, και ας είναι , το σημείο τομής των εφαπτομένων του στα σημεία $B,\ C$ . Αποδείξτε ότι , όπου είναι το μέσον της πλευράς και $K\equiv DP\cap SM$ και $P\equiv AM\cap EF$ .

Κώστας Βήττας.

ΥΓ. Θα βάλω αργότερα την απόδειξη που έχω υπόψη μου, για το ως άνω Λήμμα.

#3

vittasko έγραψε:ΛΗΜΜΑ. - Δίνεται τρίγωνο $\vartriangle ABC$ , εγγεγραμμένο σε κύκλο , με $AD,\ BE,\ CF$ τα ύψη του, και ας είναι , το σημείο τομής των εφαπτομένων του στα σημεία $B,\ C$ . Αποδείξτε ότι , όπου είναι το μέσον της πλευράς και $K\equiv DP\cap SM$ και $P\equiv AM\cap EF$ .

$\bullet$ Έστω τα σημεία $N\equiv EF\cap AS$ και $Q\equiv BC\cap AS$ .

Από το εγγράψιμο τετράπλευρο BCEF

, έχουμε ότι οι ευθείες $BC,\ EF$ είναι αντιπαράλληλες ως προς τις ευθείες της γωνίας $\angle A$ και επομένως, το σημείο

ταυτίζεται με το μέσον του

, γιατί οι ευθείες $AM,\ AS$

= διάμεσος και συμμετροδιάμεσος αντιστοίχως

, είναι ισογώνιες ως προς την γωνία $\angle A$ .

Στα όμοια τρίγωνα $\vartriangle ABC,\ \vartriangle AEF$ τώρα, λόγω των $AM,\ AN$ ως ομόλογων διαμέσων τους, προκύπτει ότι $\angle ANE = \angle AMB\Rightarrow$ $\angle ANP = \angle PMQ\ \ \ ,(1)$

Από (1)

έχουμε ότι το τετράπλευρο MQNP

είναι εγγράψιμο και επομένως, ισχύει $PQ\perp QM\equiv BC$ , λόγω $MN\perp EF\equiv NP$ , από το εγγράψιμο BCEF

με περίκεντρο το σημείο

και

, το μέσον της χορδής του

.

: Σύγκλιση στο Σημείο Lemoine - Απόδειξη του Λήμματος.; f=185_t=57447(a).png (25.46 KiB) Προβλήθηκε 1077 φορές

$\bullet$ Στο τρίγωνο $\vartriangle AMS$ , από $PQ\parallel MS\Rightarrow$ $\displaystyle \frac{PM}{PA} = \frac{QS}{QA}\ \ \ ,(2)$

Από $MS\parallel AD\Rightarrow$ $\displaystyle \frac{QS}{QA} = \frac{MS}{AD}\ \ \ ,(3)$

Στο τρίγωνο $\vartriangle ADT$ , όπου $T\equiv AM\cap DS$ , έχουμε $\displaystyle \frac{MS}{AD} = \frac{TM}{TA}\ \ \ ,(4)$

Από $(2),\ (3),\ (4)\Rightarrow$ $\boxed{\displaystyle \frac{PM}{PA} = \frac{TM}{TA}}\ \ \ ,(5)$

Από (5)

προκύπτει ότι η σημειοσειρά $A,\ P,\ M,\ T$ είναι αρμονική και άρα, η δέσμη $D\ldotp APMT$ είναι αρμονική.

Η αρμονική αυτή δέσμη τώρα, τέμνεται από την ευθεία $SO\parallel AD$ , με

το περίκεντρο του $\vartriangle ABC$ και συμπεραίνεται έτσι ότι ισχύει $\boxed{SM = MK}$ , όπου $K\equiv SM\cap DP$ και το Λήμμα έχει αποδειχθεί.

Κώστας Βήττας.

Σύγκλιση στο σημείο Lemoine

Σύγκλιση στο σημείο Lemoine

Re: Σύγκλιση στο σημείο Lemoine

Re: Σύγκλιση στο σημείο Lemoine

Μέλη σε σύνδεση