Σύγκλιση στο σημείο Lemoine

Συντονιστές: vittasko, silouan, Doloros

Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4103
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Σύγκλιση στο σημείο Lemoine

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Τετ Φεβ 08, 2017 11:19 pm

Σύγκλιση στο σημείο Lemoine.png
Σύγκλιση στο σημείο Lemoine.png (35.02 KiB) Προβλήθηκε 950 φορές
Έστω D,E,Z τα μέσα των πλευρών BC,CA,AB τριγώνου \vartriangle ABC και {A}',{B}',{C}' τα ίχνη των υψών στις ίδιες πλευρές του αντίστοιχα. Να δειχθεί ότι L\equiv {A}'{D}'\cap {B}'{E}'\cap {C}'{Z}' είναι το σημείο Lemoine του τριγώνου \vartriangle ABC , όπου {D}'\equiv AD\cap {B}'{C}',{E}'\equiv BE\cap {C}'{A}',{Z}'\equiv CZ\cap {A}'{B}'

Στάθης

Υ.Σ. Είναι πολύ πιθανόν να έχει ξανασυζητηθεί


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
vittasko
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2091
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.

Re: Σύγκλιση στο σημείο Lemoine

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από vittasko » Παρ Φεβ 10, 2017 10:27 am

Αρκεί ως ισοδύναμο ζητούμενο να αποδειχθεί, ότι μία έστω από τις ευθείες A'D',\ B'E',\ C'Z' της εκφώνησης, περνάει από το Σημείο Lemoine L , του δοσμένου τριγώνου \vartriangle ABC .

Αλλάζω τους συμβολισμούς, για ( δική μου ) ευκολία.

Έτσι, AD,\ BE,\ CF είναι τα ύψη του \vartriangle ABC και M το μέσον της πλευράς BC .

Θα αποδειχθεί ως ισοδύναμο ζητούμενο, ότι η ευθεία DP , όπου P\equiv AM\cap EF , περνάει από το Σημείο Lemoine L , του \vartriangle ABC .

\bullet Έστω S , το σημείο τομής των εφαπτομένων του περικύκλου (O) του \vartriangle ABC , στα σημεία B,\ C και ας είναι T , το σημείο τομής των εφαπτομένων στα σημεία A,\ B .

Έστω το σημείο L\equiv AS\cap CT , ως το Σημείο Lemoine του \vartriangle ABC ( γνωστό αποτέλεσμα ).

Θα αποδειχθεί ότι SM = MK , όπου K\equiv SM\cap DL .
f=185_t=57447.png
Σύγκλιση στο Σημείο Lemoine.
f=185_t=57447.png (30.17 KiB) Προβλήθηκε 840 φορές
\bullet Έστω το σημείο Z\equiv (O)\cap CT και έχουμε ότι το τετράπλευρο AZBC είναι αρμονικό ( γνωστό αποτέλεσμα ) και επομένως, η δέσμη C\ldotp AZBS είναι αρμονική.

Η αρμονική αυτή δέσμη τέμνεται από την ευθεία AS και άρα, η σημειοσειρά A,\ L,\ Q,\ S είναι αρμονική, όπου Q\equiv BC\cap AS .

Άρα, η δέσμη D\ldotp AEQS είναι επίσης αρμονική.

Η δέσμη αυτή τώρα, τέμνεται από την ευθεία SO\parallel AD , με O το περίκεντρο του \vartriangle ABC και άρα, ισχύει \boxed{SM = MK} .

\bullet Σύμφωνα με το παρακάτω Λήμμα, έχουμε ότι η ευθεία DP περνάει επίσης από το σημείο K .

Συμπεραίνεται έτσι, ότι οι ευθείες DL,\ DP ταυτίζονται και το ισοδύναμο ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

ΛΗΜΜΑ. - Δίνεται τρίγωνο \vartriangle ABC , εγγεγραμμένο σε κύκλο (O) , με AD,\ BE,\ CF τα ύψη του, και ας είναι S , το σημείο τομής των εφαπτομένων του (O) στα σημεία B,\ C . Αποδείξτε ότι SM = MK , όπου M είναι το μέσον της πλευράς BC και K\equiv DP\cap SM και P\equiv AM\cap EF .

Κώστας Βήττας.

ΥΓ. Θα βάλω αργότερα την απόδειξη που έχω υπόψη μου, για το ως άνω Λήμμα.


Άβαταρ μέλους
vittasko
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2091
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.

Re: Σύγκλιση στο σημείο Lemoine

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από vittasko » Παρ Φεβ 10, 2017 1:11 pm

vittasko έγραψε:ΛΗΜΜΑ. - Δίνεται τρίγωνο \vartriangle ABC , εγγεγραμμένο σε κύκλο (O) , με AD,\ BE,\ CF τα ύψη του, και ας είναι S , το σημείο τομής των εφαπτομένων του (O) στα σημεία B,\ C . Αποδείξτε ότι SM = MK , όπου M είναι το μέσον της πλευράς BC και K\equiv DP\cap SM και P\equiv AM\cap EF .
\bullet Έστω τα σημεία N\equiv EF\cap AS και Q\equiv BC\cap AS .

Από το εγγράψιμο τετράπλευρο BCEF , έχουμε ότι οι ευθείες BC,\ EF είναι αντιπαράλληλες ως προς τις ευθείες της γωνίας \angle A και επομένως, το σημείο N ταυτίζεται με το μέσον του EF , γιατί οι ευθείες AM,\ AS ( = διάμεσος και συμμετροδιάμεσος αντιστοίχως ) , είναι ισογώνιες ως προς την γωνία \angle A .

Στα όμοια τρίγωνα \vartriangle ABC,\ \vartriangle AEF τώρα, λόγω των AM,\ AN ως ομόλογων διαμέσων τους, προκύπτει ότι \angle ANE = \angle AMB\Rightarrow \angle ANP = \angle PMQ\ \ \ ,(1)

Από (1) έχουμε ότι το τετράπλευρο MQNP είναι εγγράψιμο και επομένως, ισχύει PQ\perp QM\equiv BC , λόγω MN\perp EF\equiv NP , από το εγγράψιμο BCEF με περίκεντρο το σημείο M και N, το μέσον της χορδής του EF.
f=185_t=57447(a).png
Σύγκλιση στο Σημείο Lemoine - Απόδειξη του Λήμματος.
f=185_t=57447(a).png (25.46 KiB) Προβλήθηκε 839 φορές
\bullet Στο τρίγωνο \vartriangle AMS , από PQ\parallel MS\Rightarrow \displaystyle \frac{PM}{PA} = \frac{QS}{QA}\ \ \ ,(2)

Από MS\parallel AD\Rightarrow \displaystyle \frac{QS}{QA} = \frac{MS}{AD}\ \ \ ,(3)

Στο τρίγωνο \vartriangle ADT , όπου T\equiv AM\cap DS , έχουμε \displaystyle \frac{MS}{AD} = \frac{TM}{TA}\ \ \ ,(4)

Από (2),\ (3),\ (4)\Rightarrow \boxed{\displaystyle \frac{PM}{PA} = \frac{TM}{TA}}\ \ \ ,(5)

Από (5) προκύπτει ότι η σημειοσειρά A,\ P,\ M,\ T είναι αρμονική και άρα, η δέσμη D\ldotp APMT είναι αρμονική.

Η αρμονική αυτή δέσμη τώρα, τέμνεται από την ευθεία SO\parallel AD , με O το περίκεντρο του \vartriangle ABC και συμπεραίνεται έτσι ότι ισχύει \boxed{SM = MK} , όπου K\equiv SM\cap DP και το Λήμμα έχει αποδειχθεί.

Κώστας Βήττας.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης