Η τέταρτη κορυφή παραλληλογράμμου σε τροχιά συνευθειακότητας

Συντονιστές: vittasko, silouan, Doloros

Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4032
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Η τέταρτη κορυφή παραλληλογράμμου σε τροχιά συνευθειακότητας

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Τετ Φεβ 08, 2017 8:04 pm

Η τέταρτη κορυφή παραλληλογράμμου σε τροχιά συνευθειακότητας.png
Η τέταρτη κορυφή παραλληλογράμμου σε τροχιά συνευθειακότητας.png (28.29 KiB) Προβλήθηκε 733 φορές
Δίνεται τρίγωνο \vartriangle ABC και ας είναι N το συμμετρικό του μέσου M της BC ως προς την ED , με E,D τις ορθές προβολές των C,B στις AB,AC αντίστοιχα και έστω T\equiv MN\cap DE . Αν K,L οι ορθές προβολές του N στις AB,AC αντίστοιχα , να δειχθεί ότι η τέταρτη κορυφή (έστω S ) του παραλληλογράμμου KALS είναι σημείο της ευθείας OT όπου O το μέσο της AN

Στάθης


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
vittasko
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2068
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.

Re: Η τέταρτη κορυφή παραλληλογράμμου σε τροχιά συνευθειακότητας

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από vittasko » Πέμ Φεβ 09, 2017 3:03 pm

Απαιτητική αυτή η κορυφή παραλληλογράμμου, ή όπως λέει και ο φίλτατος Νίκος Φραγκάκης, ο Στάθης σε "δαιμονιώδη φόρμα".

Θα αποδειχθεί το ζητούμενο, αφού πρώτα κατασκευαστεί το σχήμα με τρόπο που διευκολύνει την τεκμηρίωση.

\bullet Έστω BD,\ CE , τα ύψη του δοσμένου τριγώνου \vartriangle ABC , με ορθόκεντρο το σημείο έστω H και ας είναι M,\ T , τα μέσα των BC,\ DE , αντιστοίχως.

Έστω P,\ Q,\ R , τα μέσα των AE,\ AH,\ AD αντιστοίχως και από τα εγγράψιμα τετράπλευρα ADHE,\ BCDE έχουμε αντιστοίχως, RT\perp DE\ \ \ ,(1) και MT\perp DE\ \ \ ,(2)

Από (1),\ (2) , προκύπτει ότι τα σημεία R,\ T,\ M είναι συνευθειακά και ας είναι N , το σημείο στην προέκταση του MR προς το μέρος του R , ώστε να είναι MT = TN\ \ \ ,(3)

Έστω K,\ L , οι προβολές του σημείου N επί των AB,\ AC αντιστοίχως και ας είναι S , το σημείο ώστε το AKSL να είναι παραλλήλόγραμμο.

Ως ισοδύναμο ζητούμενο, αρκεί να αποδειχθεί ότι ισχύει OA = ON , όπου O\equiv AN\cap TS .
f=185_t=57444.png
Η τέταρτη κορυφή παραλληλογράμμου, σε τροχιά συνευθειακότητας.
f=185_t=57444.png (41.32 KiB) Προβλήθηκε 620 φορές
\bullet Έστω F,\ Z , οι προβολές του M επί των AC,\ AB αντιστοίχως και ας είναι X , το σημείο ώστε το AFXZ να είναι παραλληλόγραμμο.

Από τα συνευθειακά σημεία M,\ R,\ N , σύμφωνα με το Θεώρημα των Αναλόγων Διαιρέσεων , έχουμε \displaystyle \frac{KP}{PZ} = \frac{LQ}{QF}\ \ \ ,(4)

( οι προβολές τριών συνευθειακών σημείων, επί δύο τεμνόμενων ευθειών, ορίζουν τμήματα με ίσους λόγους )

Από KS\parallel PT\parallel ZX και LS\parallel QT\parallel FX τώρα, σύμφωνα με το ίδιο θεώρημα ( γενίκευση ), προκύπτει ότι τα σημεία S,\ T,\ X είναι συνευθειακά.

( Εάν δύο δέσμες των τριών παραλλήλων ευθειών με ίσους λόγους τέμνονται, τα σημεία τομής των ομολόγων ευθειών τους είναι συνευθειακά )

\bullet Σύμφωνα με το παρακάτω Λήμμα , ισχύει TX\equiv TY\parallel AM\ \ \ ,(5) όπου Y\equiv AR\cap TO .

Από (5) στο τρίγωνο \vartriangle RAM , έχουμε \displaystyle \frac{TR}{TM} = \frac{YR}{YA}\ \ \ ,(6)

Από (6) και TM = TN\Rightarrow \displaystyle \frac{TR}{TN} = \frac{YR}{YA}\ \ \ ,(7)

Στο τρίγωνο \vartriangle ANR τώρα, με διατέμνουσα την OYT , σύμφωνα με το Θεώρημα Μενελάου , έχουμε \displaystyle \frac{OA}{ON}\cdot \frac{TN}{TR}\cdot \frac{YR}{YA} = 1\ \ \ ,(8)

Από (7),\ (8)\Rightarrow \boxed{OA = ON} και το ισοδύναμο ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

ΛΗΜΜΑ. - Δίνεται τρίγωνο \vartriangle ABC και έστω BE,\ CF τα ύψη του και ας είναι M,\ N , τα μέσα των BC,\ EF , αντιστοίχως. Έστω K,\ L , οι προβολές του M επί των AC,\ AB αντιστοίχως και ας είναι S , το σημείο ώστε το AKSL να είναι παραλληλόγραμμο. Αποδείξτε ότι NS\parallel AM .

Κώστας Βήττας.

ΥΓ. Θα βάλω αργότερα την απόδειξη που έχω υπόψη μου για το ως άνω Λήμμα.


Άβαταρ μέλους
vittasko
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2068
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.

Re: Η τέταρτη κορυφή παραλληλογράμμου σε τροχιά συνευθειακότητας

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από vittasko » Πέμ Φεβ 09, 2017 4:11 pm

vittasko έγραψε: ΛΗΜΜΑ. - Δίνεται τρίγωνο \vartriangle ABC και έστω BE,\ CF τα ύψη του και ας είναι M,\ N , τα μέσα των BC,\ EF , αντιστοίχως. Έστω K,\ L , οι προβολές του M επί των AC,\ AB αντιστοίχως και ας είναι S , το σημείο ώστε το AKSL να είναι παραλληλόγραμμο. Αποδείξτε ότι NS\parallel AM .
f=185_t=57444(a).png
Η τέταρτη κορυφή παραλληλογράμμου, σε τροχιά συνευθειακότητας - Απόδειξη του Λήμματος.
f=185_t=57444(a).png (28.2 KiB) Προβλήθηκε 611 φορές
Στο παραλληλόγραμμο AKSL , οι διαγώνιές του KL,\ AS αλληλοδιχοτομούνται και άρα έχουμε TA = TS\ \ \ ,(1) όπου T\equiv KL\cap AS .

Ομοίως, στό το παραλληλόγραμμο KMLN , η διαγώνιά του MN περνάει από το μέσον T της KL και ισχύει TM = TN\ \ \ ,(2)

Από (1),\ (2)\Rightarrow NS\parallel AM και το Λήμμα έχει αποδειχθεί.

Κώστας Βήττας.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης