Συνευθειακότητα μέσων και ορθοκέντρου ορθικού

#1

: Συνευθειακότητα μέσων και ορθοκέντρου ορθικού.png (33.89 KiB) Προβλήθηκε 1046 φορές

Έστω τρίγωνο $\vartriangle ABC$ με $\angle A={{120}^{0}}$ και $\vartriangle EDF$ το ορθικό τρίγωνο του $\vartriangle ABC$ . Να δειχθεί ότι τα σημεία είναι συνευθειακά, όπου το ορθόκεντρο του $\vartriangle EDF$ , το μέσο του τμήματος , με τις ορθές προβολές των στις αντίστοιχα και το μέσο της

Στάθης

#2

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε:Συνευθειακότητα μέσων και ορθοκέντρου ορθικού.pngΈστω τρίγωνο $\vartriangle ABC$ με $\angle A={{120}^{0}}$ και $\vartriangle EDF$ το ορθικό τρίγωνο του $\vartriangle ABC$ . Να δειχθεί ότι τα σημεία είναι συνευθειακά, όπου το ορθόκεντρο του $\vartriangle EDF$ , το μέσο του τμήματος , με τις ορθές προβολές των στις αντίστοιχα και το μέσο της

Στάθης

Καλησπέρα Στάθη!

: Συνευθειακότητα μέσων και....png (28.77 KiB) Προβλήθηκε 984 φορές

Έστω ότι η H'M

τέμνει την

στο

Θα δείξω ότι το

είναι το μέσο του PQ.

Ο περίκυκλος του DE F

είναι ο κύκλος του Euler

του τριγώνου ABC

και λόγω της $\widehat A=120^0$ και των εγγράψιμων τετραπλεύρων που σχηματίζονται, οι γωνίες των 30^0

που εμφανίζονται στο σχήμα είναι προφανείς.

Το συμμετρικό

του

ως προς

θα βρίσκεται πάνω στον κύκλο και έστω

το μέσο του H'M.

Το

είναι ισόπλευρο, άρα $H'\widehat KM =60^0$ και αφού $D\widehat FK=30^0$ , θα είναι $\displaystyle{KM \bot AD}.$ Επειδή όμως $\displaystyle{SP||MK \Rightarrow SP||H'Q}.$ Ομοίως είναι $\displaystyle{H'P||QS}$ , οπότε το H'QSP

είναι παραλληλόγραμμο, άρα το

είναι μέσο του

και το ζητούμενο αποδείχθηκε.

#3

george visvikis έγραψε:
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε:Συνευθειακότητα μέσων και ορθοκέντρου ορθικού.pngΈστω τρίγωνο $\vartriangle ABC$ με $\angle A={{120}^{0}}$ και $\vartriangle EDF$ το ορθικό τρίγωνο του $\vartriangle ABC$ . Να δειχθεί ότι τα σημεία είναι συνευθειακά, όπου το ορθόκεντρο του $\vartriangle EDF$ , το μέσο του τμήματος , με τις ορθές προβολές των στις αντίστοιχα και το μέσο της

Στάθης
Καλησπέρα Στάθη!

Συνευθειακότητα μέσων και....png
Έστω ότι η τέμνει την στο Θα δείξω ότι το είναι το μέσο του Ο περίκυκλος του είναι ο κύκλος του του τριγώνου και λόγω της $\widehat A=120^0$ και των εγγράψιμων τετραπλεύρων που σχηματίζονται, οι γωνίες των που εμφανίζονται στο σχήμα είναι προφανείς.

Το συμμετρικό του ως προς θα βρίσκεται πάνω στον κύκλο και έστω το μέσο του Το είναι ισόπλευρο, άρα $H'\widehat KM =60^0$ και αφού $D\widehat FK=30^0$ , θα είναι $\displaystyle{KM \bot AD}.$ Επειδή όμως $\displaystyle{SP||MK \Rightarrow SP||H'Q}.$ Ομοίως είναι $\displaystyle{H'P||QS}$ , οπότε το είναι παραλληλόγραμμο, άρα το είναι μέσο του και το ζητούμενο αποδείχθηκε.

Πολύ ωραίος ο Γιώργος!!

Συνευθειακότητα μέσων και ορθοκέντρου ορθικού

Συνευθειακότητα μέσων και ορθοκέντρου ορθικού

Re: Συνευθειακότητα μέσων και ορθοκέντρου ορθικού

Re: Συνευθειακότητα μέσων και ορθοκέντρου ορθικού

Μέλη σε σύνδεση