Συνευθειακότητα μέσων και ορθοκέντρου ορθικού

Συντονιστές: vittasko, silouan, Doloros

Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3960
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Συνευθειακότητα μέσων και ορθοκέντρου ορθικού

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Παρ Φεβ 03, 2017 8:09 pm

Συνευθειακότητα μέσων και ορθοκέντρου ορθικού.png
Συνευθειακότητα μέσων και ορθοκέντρου ορθικού.png (33.89 KiB) Προβλήθηκε 646 φορές
Έστω τρίγωνο \vartriangle ABC με \angle A={{120}^{0}} και \vartriangle EDF το ορθικό τρίγωνο του \vartriangle ABC. Να δειχθεί ότι τα σημεία {H}',N,M είναι συνευθειακά, όπου {H}' το ορθόκεντρο του \vartriangle EDF, N το μέσο του τμήματος PQ , με P,Q τις ορθές προβολές των F,E στις DE,DF αντίστοιχα και M το μέσο της BC

Στάθης


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8322
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Συνευθειακότητα μέσων και ορθοκέντρου ορθικού

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Φεβ 04, 2017 8:31 pm

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε:Συνευθειακότητα μέσων και ορθοκέντρου ορθικού.pngΈστω τρίγωνο \vartriangle ABC με \angle A={{120}^{0}} και \vartriangle EDF το ορθικό τρίγωνο του \vartriangle ABC. Να δειχθεί ότι τα σημεία {H}',N,M είναι συνευθειακά, όπου {H}' το ορθόκεντρο του \vartriangle EDF, N το μέσο του τμήματος PQ , με P,Q τις ορθές προβολές των F,E στις DE,DF αντίστοιχα και M το μέσο της BC

Στάθης
Καλησπέρα Στάθη!
Συνευθειακότητα μέσων και....png
Συνευθειακότητα μέσων και....png (28.77 KiB) Προβλήθηκε 584 φορές
Έστω ότι η H'M τέμνει την PQ στο N. Θα δείξω ότι το N είναι το μέσο του PQ. Ο περίκυκλος του DE F είναι ο κύκλος του Euler του τριγώνου ABC και λόγω της \widehat A=120^0 και των εγγράψιμων τετραπλεύρων που σχηματίζονται, οι γωνίες των 30^0 που εμφανίζονται στο σχήμα είναι προφανείς.

Το συμμετρικό K του H' ως προς P θα βρίσκεται πάνω στον κύκλο και έστω S το μέσο του H'M. Το FME είναι ισόπλευρο, άρα H'\widehat KM =60^0 και αφού D\widehat FK=30^0, θα είναι \displaystyle{KM \bot AD}. Επειδή όμως \displaystyle{SP||MK \Rightarrow SP||H'Q}. Ομοίως είναι \displaystyle{H'P||QS}, οπότε το H'QSP είναι παραλληλόγραμμο, άρα το N είναι μέσο του PQ και το ζητούμενο αποδείχθηκε.


Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3960
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Συνευθειακότητα μέσων και ορθοκέντρου ορθικού

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Σάβ Φεβ 04, 2017 10:23 pm

george visvikis έγραψε:
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε:Συνευθειακότητα μέσων και ορθοκέντρου ορθικού.pngΈστω τρίγωνο \vartriangle ABC με \angle A={{120}^{0}} και \vartriangle EDF το ορθικό τρίγωνο του \vartriangle ABC. Να δειχθεί ότι τα σημεία {H}',N,M είναι συνευθειακά, όπου {H}' το ορθόκεντρο του \vartriangle EDF, N το μέσο του τμήματος PQ , με P,Q τις ορθές προβολές των F,E στις DE,DF αντίστοιχα και M το μέσο της BC

Στάθης
Καλησπέρα Στάθη!

Συνευθειακότητα μέσων και....png
Έστω ότι η H'M τέμνει την PQ στο N. Θα δείξω ότι το N είναι το μέσο του PQ. Ο περίκυκλος του DE F είναι ο κύκλος του Euler του τριγώνου ABC και λόγω της \widehat A=120^0 και των εγγράψιμων τετραπλεύρων που σχηματίζονται, οι γωνίες των 30^0 που εμφανίζονται στο σχήμα είναι προφανείς.

Το συμμετρικό K του H' ως προς P θα βρίσκεται πάνω στον κύκλο και έστω S το μέσο του H'M. Το FME είναι ισόπλευρο, άρα H'\widehat KM =60^0 και αφού D\widehat FK=30^0, θα είναι \displaystyle{KM \bot AD}. Επειδή όμως \displaystyle{SP||MK \Rightarrow SP||H'Q}. Ομοίως είναι \displaystyle{H'P||QS}, οπότε το H'QSP είναι παραλληλόγραμμο, άρα το N είναι μέσο του PQ και το ζητούμενο αποδείχθηκε.
Πολύ ωραίος ο Γιώργος!!


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες