Όμορφη Ομοκυκλικότητα
Συντονιστές: vittasko, silouan, Doloros
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Όμορφη Ομοκυκλικότητα
Έστω είναι τρία ίσα διαδοχικά τόξα κύκλου με μέτρο μικρότερο των και τυχόν σημείο του υπόλοιπου από τον κύκλο τόξου . Να δειχθεί ότι είναι ομοκυκλικά , με τα σημεία τομής των εκ του καθέτων στις με τις πλευρές του τριγώνου , όπου είναι το κέντρο του κύκλου Euler του τριγώνου
Στάθης
Στάθης
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Λέξεις Κλειδιά:
- vittasko
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2230
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
- Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.
- Επικοινωνία:
Re: Όμορφη Ομοκυκλικότητα
Όμορφο πρόβλημα. Ότι πρέπει για ένα ΑΛΤΣΟΤΕΣΤ για τους ηλικιωμένους ( > 65 ).
Αλλάζω λίγο τους συμβολισμούς, για ( δική μου ) ευκολία.
Έστω τα ύψη του δοσμένου τριγώνου και ας είναι τα μέσα των πλευρών του , αντιστοίχως και έστω τα σημεία στον περίκυκλο του , ώστε να είναι .
Οι δια του κέντρου του Κύκλου Euler του κάθετες ευθείες επί των , τέμνουν τις στα σημεία , αντιστοίχως.
Έστω , τα μέσα των αντιστοίχως, όπου είναι το ορθόκεντρο του και από τα ορθογώνια τρίγωνα , έχουμε ότι τα ταυτίζονται με τα αντιδιαμετρικά σημεία των αντιστοίχως, στον Κύκλο Euler του .
θεωρούμε το εγγεγραμμένο στον κύκλο , μη κυρτό εξάγωνο και σύμφωνα με το Θεώρημα Pascal , έχουμε ότι τα σημεία και και είναι συνευθειακά. Σύμφωνα με το παρακάτω Λήμμα , έχουμε ότι και ομοίως
Από και και και
Από και συνευθειακά τώρα, προκύπτει
Από
Από συμπεραίνεται ότι τα σημεία είναι ομοκυκλικά και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
ΛΗΜΜΑ. - Δίνεται τρίγωνο , εγγεγραμμένο σε κύκλο και έστω τα ύψη του και το ορθόκεντρό του. Έστω , το σημείο επί τού τόξου που δεν περιέχει το σημείο , ώστε να είναι . Αποδείξτε ότι , όπου είναι το μέσον του .
Κώστας Βήττας.
ΥΓ. Θα βάλω αργότερα την ( απλή ) απόδειξη που έχω υπόψη μου για το ως άνω Λήμμα.
Αλλάζω λίγο τους συμβολισμούς, για ( δική μου ) ευκολία.
Έστω τα ύψη του δοσμένου τριγώνου και ας είναι τα μέσα των πλευρών του , αντιστοίχως και έστω τα σημεία στον περίκυκλο του , ώστε να είναι .
Οι δια του κέντρου του Κύκλου Euler του κάθετες ευθείες επί των , τέμνουν τις στα σημεία , αντιστοίχως.
Έστω , τα μέσα των αντιστοίχως, όπου είναι το ορθόκεντρο του και από τα ορθογώνια τρίγωνα , έχουμε ότι τα ταυτίζονται με τα αντιδιαμετρικά σημεία των αντιστοίχως, στον Κύκλο Euler του .
θεωρούμε το εγγεγραμμένο στον κύκλο , μη κυρτό εξάγωνο και σύμφωνα με το Θεώρημα Pascal , έχουμε ότι τα σημεία και και είναι συνευθειακά. Σύμφωνα με το παρακάτω Λήμμα , έχουμε ότι και ομοίως
Από και και και
Από και συνευθειακά τώρα, προκύπτει
Από
Από συμπεραίνεται ότι τα σημεία είναι ομοκυκλικά και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
ΛΗΜΜΑ. - Δίνεται τρίγωνο , εγγεγραμμένο σε κύκλο και έστω τα ύψη του και το ορθόκεντρό του. Έστω , το σημείο επί τού τόξου που δεν περιέχει το σημείο , ώστε να είναι . Αποδείξτε ότι , όπου είναι το μέσον του .
Κώστας Βήττας.
ΥΓ. Θα βάλω αργότερα την ( απλή ) απόδειξη που έχω υπόψη μου για το ως άνω Λήμμα.
- vittasko
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2230
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
- Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.
- Επικοινωνία:
Re: Όμορφη Ομοκυκλικότητα
Έστω το σημείο και ας είναι , η προβολή του επί της .vittasko έγραψε: ΛΗΜΜΑ. - Δίνεται τρίγωνο , εγγεγραμμένο σε κύκλο και έστω τα ύψη του και το ορθόκεντρό του. Έστω , το σημείο επί τού τόξου που δεν περιέχει το σημείο , ώστε να είναι . Αποδείξτε ότι , όπου είναι το μέσον του .
Από λόγω του ορθογωνίου τριγώνου με .
Από τα εγγράψιμα τετράπλευρα και το ισοσκελές τρίγωνο με προκύπτει
Από
Από συμπεραίνεται ότι το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο και επομένως ισχύει και το Λήμμα έχει αποδειχθεί.
Κώστας Βήττας.
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Re: Όμορφη Ομοκυκλικότητα
Έστω οι ορθές προβολές του στις και ας είναι τα σημεία τομής των εκ των καθέτων στις με τις αντίστοιχα.ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε:Ομορφη ομοκυκλικότητα.pngΈστω είναι τρία ίσα διαδοχικά τόξα κύκλου με μέτρο μικρότερο των και τυχόν σημείο του υπόλοιπου από τον κύκλο τόξου . Να δειχθεί ότι είναι ομοκυκλικά , με τα σημεία τομής των εκ του καθέτων στις με τις πλευρές του τριγώνου , όπου είναι το κέντρο του κύκλου Euler του τριγώνου
Στάθης
Σύμφωνα με την όμορφη πρόταση αυτή του Κώστα (Βήττα) που μία επιπλέον απόδειξή της από τον Δημήτρη Παπαδημητρίου βρίσκεται εδώ
(πολύ τη ζήλεψα αυτή την απόδειξη) ισχύει: οπότε σύμφωνα με το Stahtis koutras ‘ theorem θα ισχύει .
Από την προφανή ομοιότητα
ομοκυκλικά και το ζητούμενο έχει αποδειθχεί.
Στάθης
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης