Γενίκευση Θεωρήματος Στάθη Κούτρα
Συντονιστές: vittasko, silouan, Doloros
- cretanman
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 4098
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
- Επικοινωνία:
Γενίκευση Θεωρήματος Στάθη Κούτρα
Ο καλός φίλος και συνάδελφος από το Ηράκλειο Δημήτρης Μπουνάκης με αφορμή το θέμα εδώ, μου έστειλε σε email την παρακάτω γενίκευση του θεωρήματος του Στάθη Κούτρα την οποία μου είπε να σας κοινοποιήσω. Τη δική του προσέγγιση θα την δώσω αργότερα ώστε να την χαρούν οι φίλοι της Γεωμετρίας.
Έστω γωνία και ευθεία που τέμνει τις πλευρές της (ή τις προεκτάσεις των) ( επί των αντίστοιχα). Από ένα σημείο εντός της γωνίας θεωρούμε τις ευθείες ώστε η γωνία να είναι παραπληρωματική της και από ένα άλλο σημείο της γωνίας θεωρούμε τις ευθείες παράλληλες στις αντιστοίχως ( σημείο της μεταξύ των ). Αν η ευθεία τέμνει την στο και είναι προς το ίδιο μέρος της ευθείας , τότε ισχύει η ισοδυναμία:
Αν τα σημεία είναι εκατέρωθεν της ευθείας , τότε στην ισοδυναμία αυτή, η ισότητα των γωνιών αντικαθίσταται με το ότι αυτές είναι παραπληρωματικές.
Έστω γωνία και ευθεία που τέμνει τις πλευρές της (ή τις προεκτάσεις των) ( επί των αντίστοιχα). Από ένα σημείο εντός της γωνίας θεωρούμε τις ευθείες ώστε η γωνία να είναι παραπληρωματική της και από ένα άλλο σημείο της γωνίας θεωρούμε τις ευθείες παράλληλες στις αντιστοίχως ( σημείο της μεταξύ των ). Αν η ευθεία τέμνει την στο και είναι προς το ίδιο μέρος της ευθείας , τότε ισχύει η ισοδυναμία:
Αν τα σημεία είναι εκατέρωθεν της ευθείας , τότε στην ισοδυναμία αυτή, η ισότητα των γωνιών αντικαθίσταται με το ότι αυτές είναι παραπληρωματικές.
τελευταία επεξεργασία από cretanman σε Τρί Ιαν 10, 2017 12:46 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λόγος: Προστέθηκε για πληρότητα ό,τι βρίσκεται στον αστερίσκο
Λόγος: Προστέθηκε για πληρότητα ό,τι βρίσκεται στον αστερίσκο
Αλέξανδρος Συγκελάκης
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Γενίκευση Θεωρήματος Στάθη Κούτρα
Ουσιαστικά θέλουμε το το , να είναι εγγράψιμο .
τελευταία επεξεργασία από KARKAR σε Κυρ Ιαν 08, 2017 7:15 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
- S.E.Louridas
- Δημοσιεύσεις: 5959
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
- Τοποθεσία: Aegaleo.
- Επικοινωνία:
Re: Γενίκευση Θεωρήματος Στάθη Κούτρα
Τόσο το θεώρημα του Στάθη Κούτρα, όσο και η γενίκευση από τον κ. Δημήτρη Μπουνάκη (τεράστια κατά την προσωπική μου άποψη η προσφορά του στα Μαθηματικά δρώμενα και μέσω συγγραφής εκπληκτικών βιβλίων επιπέδου) επίσης αποδεικνύονται άμεσα από το λήμμα που απεικονίζεται στο παρακάτω σχήμα και τούτο διότι η παράλληλη μεταφορά σχήματος δεν το αλλοιώνει, και η μεταφορά σχήματος μέσω ομοιότητας δεν αλλοιώνει τον λόγο μεταξύ των στοιχείων του.
Λήμμα:
Δίνεται το εγγεγραμμένο τετράπλευρο . Η ικανή και αναγκαία συνθήκη ώστε είναι
Απόδειξη:
Πράγματι αν τότε από την δύναμη του ως προς τον κύκλο παίρνουμε
και από την ομοιότητα των τριγώνων έχουμε
Από τις σχέσεις προκύπτει
Το αντίστροφο είναι πολύ απλό.
Παρατήρηση: Η σχέση δηλώνει ισοδύναμα ότι η είναι εφαπτομένη του περιγεγραμμένου κύκλου στο τρίγωνο
(*) Προφανώς ισχύει η ισοδυναμία Ο λόγος μεταφέρεται στις ομόλογες πλευρές κάθε τριγώνου όμοιου προς το τρίγωνο
(**) Απλά το "οδοιπορικό" από το Θεώρημα του Στάθη Κούτρα στη πρόταση του κ. Δημήτρη Μπουνάκη μου θύμισε την αντίστοιχη πορεία από την ευθεία του Simson στην ευθεία του Wallace.
Λήμμα:
Δίνεται το εγγεγραμμένο τετράπλευρο . Η ικανή και αναγκαία συνθήκη ώστε είναι
Απόδειξη:
Πράγματι αν τότε από την δύναμη του ως προς τον κύκλο παίρνουμε
και από την ομοιότητα των τριγώνων έχουμε
Από τις σχέσεις προκύπτει
Το αντίστροφο είναι πολύ απλό.
Παρατήρηση: Η σχέση δηλώνει ισοδύναμα ότι η είναι εφαπτομένη του περιγεγραμμένου κύκλου στο τρίγωνο
(*) Προφανώς ισχύει η ισοδυναμία Ο λόγος μεταφέρεται στις ομόλογες πλευρές κάθε τριγώνου όμοιου προς το τρίγωνο
(**) Απλά το "οδοιπορικό" από το Θεώρημα του Στάθη Κούτρα στη πρόταση του κ. Δημήτρη Μπουνάκη μου θύμισε την αντίστοιχη πορεία από την ευθεία του Simson στην ευθεία του Wallace.
- Συνημμένα
-
- Lemma.png (33.39 KiB) Προβλήθηκε 717 φορές
S.E.Louridas
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 5 επισκέπτες