Ομορφούλα
Συντονιστές: vittasko, silouan, Doloros
-
- Δημοσιεύσεις: 246
- Εγγραφή: Σάβ Ιαν 18, 2014 5:07 pm
Ομορφούλα
Δίνεται τρίγωνο με εσωτερική διχοτόμο ().Η κάθετη στη από το τέμνει την εξωτερική διχοτόμο της στο σημείο .Ο κύκλος κέντρου και ακτίνας τέμνει τις στα αντίστοιχα.Η -συμμετροδιάμεσος του τριγώνου τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο του () στο σημείο .Να αποδειχθεί ότι οι περίκυκλοι των τριγώνων και εφάπτονται.
Σημαντήρης Γιάννης
Λέξεις Κλειδιά:
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Re: Ομορφούλα
Σύμφωνα με το i) ερώτημα του θέματος η συμμετροδιάμεσος!που άριστα αντιμετώπισε ο Dement τα σημεία είναι ομοκυκλικά .simantiris j. έγραψε:Δίνεται τρίγωνο με εσωτερική διχοτόμο ().Η κάθετη στη από το τέμνει την εξωτερική διχοτόμο της στο σημείο .Ο κύκλος κέντρου και ακτίνας τέμνει τις στα αντίστοιχα.Η -συμμετροδιάμεσος του τριγώνου τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο του () στο σημείο .Να αποδειχθεί ότι οι περίκυκλοι των τριγώνων και εφάπτονται.
Επειδή (ως γνωστό) η συμμετροδιάμεσος του τριγώνου διέρχεται από το σημείο τομής των εφαπτομένων του περίκυκλου του τριγώνου
(δηλαδή του ) και με προκύπτει ότι το τετράπλευρο είναι "χαρταετός",
άρα μεσοκάθετη της δηλαδή το είναι το μέσο της και έστω
από τη διχοτόμο της γωνίας και φυσικά και της ίσης της (λόγω εγγραψιμότητας) .
Προφανώς είναι διάμετρος του κύκλου (αφού (γωνία εσωτερικής και εξωτερικής διχοτόμου)), και συνεπώς .
Αν τότε τα τετράπλευρα είναι εγγράψιμα σε κύκλους (αφού ).
Ετσι
συνευθειακά.
[attachment=1]Ομορφούλα (2).png[/attachment]
Έστω το σημείο τομής του περίκυκλου του τριγώνου με την εξωτερική διχοτόμο της γωνίας του .τότε διάμετρος του περίκυκλου αυτού με (αφού από τις διχοτόμους (εσωτερική και εξωτερική)). Οι είναι οι ριζικοί άξονες των ζευγών των κύκλων και συνεπώς που είναι από την αρμονική δέσμη (από εσωτερική και εξωτερική διχοτόμο) το αρμονικό συζυγές του ως προς τα που θα ταυτίζεται με το αρμονικό συζυγές του ως προς τα και συνεπώς η διέρχεται από το , άρα .
Επειδή σημεία κύκλου διαμέτρου .
Ετσι ομοκυκλικά
και με ομοκυκλικά.
Είναι
σημείο του κύκλου , οπότε το ταυτίζεται με το κέντρου του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου .
[attachment=0]Ομορφούλα (2).png[/attachment]
Έστω η εφαπτόμενη του περίκυκλου του τριγώνου (εύκολα φαίνεται ότι θα είναι το μέσο της (δεν μας ενδιαφέρει και πολύ)) και αρκεί να δείξω ότι η εφάπτεται στον περίκυκλο του τριγώνου
Είναι
εφαπτόμενη και στον κύκλο .
Δηλαδή οι περίκυκλοι των τριγώνων δέχονται στο κοινό τους σημείο κοινή εφαπτόμενη και συνεπώς εφάπτονται και μεταξύ τους και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
Στάθης
Υ.Σ. Με παίδεψε αυτή η πρόταση αρκετά!. Μετά τη λύση της γίνεται φανερό ότι εύκολα απαντώνται και όλα τα "παιδιά που γέννησε" στη διαδρομή της και γυρνάνε "ορφανά" εδώ και εκεί στο και αλλού
- Συνημμένα
-
- Ομορφούλα (2).png (110.02 KiB) Προβλήθηκε 1103 φορές
-
- Ομορφούλα (2).png (110.02 KiB) Προβλήθηκε 1103 φορές
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης