"Στράβωσε" ο Euler

[ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ]

Στράβωσε ο Euler.png (31.43 KiB) Προβλήθηκε 1017 φορές

Έστω με εσωτερικό σημείο τριγώνου και σημεία των αντίστοιχα. Να δειχθεί ότι τα σημεία είναι σημεία έλλειψης με είναι οι τριάδες των μέσων των τριάδων αντίστοιχα.

Στάθης

[Mihalis_Lambrou]

Έστω με εσωτερικό σημείο τριγώνου και σημεία των αντίστοιχα. Να δειχθεί ότι τα σημεία είναι σημεία έλλειψης με είναι οι τριάδες των μέσων των τριάδων αντίστοιχα.

Στάθης

Μία λύση εκτός ύλης και πνεύματος, αλλά μπορεί να προσαρμοστεί για Λύκειο κάνοντας χρήση διανυσμάτων.

Φέρνουμε την κάθετο στην από το και την κάθετο στην από το . Έστω ότι τέμνονται στο και έστω ακόμη ότι οι τέμνονται στο . Θα επικεντρωθούμε στο τρίγωνο του οποίου βέβαια το είναι ορθόκεντρο.

Θεωρούμε το ως κέντρο του επιπέδου και τον άξονα των .

Εξετάζουμε την γραμμική απεικόνιση που στέλνει το στον εαυτό του και το στο και αυτόματα το πάει στον εαυτό του). Τότε επειδή οι ευθείες πάνε σε ευθείες και το είναι στην τομή των σημαίνει ότι απεικονίζεται στο . Έπεται (επειδή τα ύψη συγκλίνουν) ότι το απεικονίζεται σε σημείο της ευθείας και μάλιστα είναι τότε

Είμαστε έτοιμοι για το τελικό βήμα: Επειδή η γραμμική απεικόνιση στέλνει τα μέσα ευθυγράμμων τμημάτων σε μέσα, τα σημεία του αρχικού σχήματος πάνε σε αντίστοιχα σημεία τα οποία είναι ομοκυκλικά (κύκλος Euler). Τώρα, η αντίστροφη απεικόνιση είναι βέβαια γραμμική, και άρα στέλνει κύκλους σε ελλείψεις.

Συνοψίζοντας, ο κύκλος Euler θα απεικονιστεί σε έλλειψη δια μέσου των σημειωμένων σημείων, και ολοκληρώνεται η απόδειξη.

[Al.Koutsouridis]

Καλησπέρα,

Μπορεί να λυθεί με χρήση του θεωρήματος Carnot και τα θωρήματα της παραγράφου 2 από εδώ.

Επίσης με βαρυκεντρικές συντεταγμένες, αλλά οι πράξεις είναι επίπονες.