"Στράβωσε" ο Euler

Συντονιστές: vittasko, silouan, Doloros

Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3958
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

"Στράβωσε" ο Euler

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Τετ Δεκ 14, 2016 8:52 am

Στράβωσε ο Euler.png
Στράβωσε ο Euler.png (31.43 KiB) Προβλήθηκε 694 φορές
Έστω S\equiv A{A}'\cap B{B}'\cap C{C}' με S εσωτερικό σημείο τριγώνου \vartriangle ABC και {A}',{B}',{C}' σημεία των BC,CA,AB αντίστοιχα. Να δειχθεί ότι τα σημεία {A}',{B}',{C}',M,N,P,{A}'',{B}'',{C}'' είναι σημεία έλλειψης με \left( M,N,P \right)\,\,\And \,\,\left( {A}'',{B}'',{C}'' \right) είναι οι τριάδες των μέσων των τριάδων \left( BC,CA,AB \right)\,\,\And \,\,\left( SA,SB,SC \right) αντίστοιχα.

Στάθης


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει

Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11346
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: "Στράβωσε" ο Euler

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Δεκ 14, 2016 10:59 am

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε:Έστω S\equiv A{A}'\cap B{B}'\cap C{C}' με S εσωτερικό σημείο τριγώνου \vartriangle ABC και {A}',{B}',{C}' σημεία των BC,CA,AB αντίστοιχα. Να δειχθεί ότι τα σημεία {A}',{B}',{C}',M,N,P,{A}'',{B}'',{C}'' είναι σημεία έλλειψης με \left( M,N,P \right)\,\,\And \,\,\left( {A}'',{B}'',{C}'' \right) είναι οι τριάδες των μέσων των τριάδων \left( BC,CA,AB \right)\,\,\And \,\,\left( SA,SB,SC \right) αντίστοιχα.

Στάθης
Μία λύση εκτός ύλης και πνεύματος, αλλά μπορεί να προσαρμοστεί για Λύκειο κάνοντας χρήση διανυσμάτων.

Φέρνουμε την κάθετο στην BC από το A' και την κάθετο στην BS από το C. Έστω ότι τέμνονται στο A_0 και έστω ακόμη ότι οι A_0A', \, BS τέμνονται στο H_0. Θα επικεντρωθούμε στο τρίγωνο A_0BC του οποίου βέβαια το H_0 είναι ορθόκεντρο.

Θεωρούμε το B ως κέντρο του επιπέδου και BC τον άξονα των x.

Εξετάζουμε την γραμμική απεικόνιση που στέλνει το C στον εαυτό του και το A στο A_0 και αυτόματα το B πάει στον εαυτό του). Τότε επειδή οι ευθείες πάνε σε ευθείες και το S είναι στην τομή των AA', BS σημαίνει ότι απεικονίζεται στο H. Έπεται (επειδή τα ύψη συγκλίνουν) ότι το C' απεικονίζεται σε σημείο C_0 της ευθείας A_0B και μάλιστα είναι τότε CC_0 \perp A_0B

Είμαστε έτοιμοι για το τελικό βήμα: Επειδή η γραμμική απεικόνιση στέλνει τα μέσα ευθυγράμμων τμημάτων σε μέσα, τα 9 σημεία του αρχικού σχήματος πάνε σε αντίστοιχα σημεία τα οποία είναι ομοκυκλικά (κύκλος Euler). Τώρα, η αντίστροφη απεικόνιση είναι βέβαια γραμμική, και άρα στέλνει κύκλους σε ελλείψεις.

Συνοψίζοντας, ο κύκλος Euler θα απεικονιστεί σε έλλειψη δια μέσου των 9 σημειωμένων σημείων, και ολοκληρώνεται η απόδειξη.


Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 967
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: "Στράβωσε" ο Euler

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Σάβ Δεκ 17, 2016 8:31 pm

Καλησπέρα,

Μπορεί να λυθεί με χρήση του θεωρήματος Carnot και τα θωρήματα της παραγράφου 2 από εδώ.

Επίσης με βαρυκεντρικές συντεταγμένες, αλλά οι πράξεις είναι επίπονες.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης