Καλοκαιρινή Ανισότητα

Joaakim · #1

Έστω $x_i, y_i \in \mathbb{R}$ , με i=1,2,...,n

, και $n \in \mathbb{N}$ , τέτοιοι ώστε $\displaystyle {\sum_{i=1}^{n} x_i^2={\sum_{i=1}^{n} y_i^2=1$ .
Να αποδείξετε ότι:

$\displaystyle (x_1 y_2-x_2 y_1)^2 \leq 2|1-{\sum_{i=1}^{n} x_i y_i|$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Joaakim έγραψε: ↑
Τρί Αύγ 17, 2021 12:52 pm
Έστω $x_i, y_i \in \mathbb{R}$ , με , και $n \in \mathbb{N}$ , τέτοιοι ώστε $\displaystyle {\sum_{i=1}^{n} x_i^2={\sum_{i=1}^{n} y_i^2=1$ .
Να αποδείξετε ότι:

$\displaystyle (x_1 y_2-x_2 y_1)^2 \leq 2|1-{\sum_{i=1}^{n} x_i y_i|$

Η απόλυτη τιμή δεν χρειάζεται.
Η ανισότητα μπορεί να γίνει ισχυρότερη.
Συγκεκριμένα μπορούμε να δείξουμε ότι

$\displaystyle \sum _{1\leq i<j\leq n}(x_i y_j-x_j y_i)^2 \leq 2|1-{\sum_{i=1}^{n} x_i y_i|$

Πράγματι από την ταυτότητα
https://en.wikipedia.org/wiki/Lagrange%27s_identity

αν θέσουμε

$\displaystyle t=\sum_{i=1}^{n} x_i y_i$

μένει να δείξουμε ότι

$\displaystyle 1-t^2\leq 2-2t$

που προφανώς ισχύει

Joaakim · #3

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Τετ Αύγ 18, 2021 8:11 am

...

Πολύ ωραία

.
Αν και δεν θα έλεγα ότι η ανισότητα γίνεται ισχυρότερη, αφού κομμάτι της άσκησης είναι να έχουμε

μεταβλητές και στα δύο μέλη.
Να πω επίσης ότι υπάρχει κι άλλος τρόπος

.

Καλοκαιρινή Ανισότητα

Καλοκαιρινή Ανισότητα

Re: Καλοκαιρινή Ανισότητα

Re: Καλοκαιρινή Ανισότητα

Μέλη σε σύνδεση