Ενδιαφέρον Τύπος

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

Απάντηση
Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1797
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Ενδιαφέρον Τύπος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Σάβ Μάιος 08, 2021 5:16 pm

Έστω ABC ένα τρίγωνο και D σημείο του επιπέδου του. Έστω a=BC, b=AC, c=AB και u=AD, v=BD, w=CD. R και r οι ακτίνες του περιγεγραμμένου και εγγεγραμμένου κύκλου αυτού του τριγώνου, S το εμβαδόν του και d η απόσταση του σημείου D από το κέντρο O του περιγεγραμμένου κύκλου του ABC. Να δείξετε ότι ισχύει ο παρακάτω τύπος:

\displaystyle{16S^2 \left ( d^2-R^2\right)^2 = \left ( au+bv+cw)(au+bv-cw)(au-bv+cw)(-au+bv+cw) } (1)

ή στην προσθετική του μορφή

\displaystyle{16S^2 \left ( d^2-R^2\right)^2 = 2 \left (a^2u^2b^2v^2+a^2u^2c^2w^2+b^2v^2c^2w^2\right)-\left( a^4u^4+b^4v^4+c^4w^4\right)}


Αν επιπλέον \rho είναι η ακτίνα του κύκλου \omega με κέντρο το σημείο D και x,y,z τα μήκη των εφαπτόμενων τμημάτων από τα σημεία A,B,C προς τον \omega τότε να δείξετε ότι ισχύει ο τύπος:

\displaystyle{16S^2 \left (\rho^2 -(d-R)^2\right ) \left( \rho^2 -(d+R)^2\right) = \left ( ax+by+cz)(ax+by-cz)(ax-by+cz)(-ax+by+cz)}

ή στην προσθετική του μορφή

\displaystyle{16S^2 \left (\rho^2 -(d-R)^2\right ) \left( \rho^2 -(d+R)^2\right) =2 \left (a^2x^2b^2y^2+a^2x^2c^2z^2+b^2y^2c^2z^2\right)-\left( a^4x^4+b^4y^4+c^4z^4\right)}


Πηγή: περιοδικό "Μαθηματική εκπαίδευση" τεύχος 26, 2020.


Λέξεις Κλειδιά:
τύπος
Κορυφή
Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης