Μέγιστος όρος αναπτύγματος!

#1

Αναπτύσσοντας το $\displaystyle{(\sqrt{2}+\sqrt{3})^{100}}$ προκύπτει ένα άθροισμα με 101 προσθετέους. Ποιος είναι ο μεγαλύτερος από αυτούς;

Manolis Petrakis · #2

Χαίρεται!
$(\sqrt 2+\sqrt 3)^{100}=\sum \binom{100}{i}\sqrt 2^i\sqrt 3^{100-i}$
Κάθε προσθετέος είναι της μορφής $\binom{100}{i}\sqrt 2^i\sqrt 3^{100-i}$
Για $k\geq 45$ είναι $\binom{100}{k}\sqrt 2^k\sqrt 3^{100-k}> \binom{100}{k+1}\sqrt 2^{k+1}\sqrt 3^{99-k}$
$\Leftrightarrow \sqrt 3\binom{100}{k}>\sqrt 2\binom{100}{k+1}$
$\Leftrightarrow \sqrt 3 (k+1)!(99-k)!>\sqrt 2 k!(100-k)!$
$\Leftrightarrow \sqrt 3 (k+1)>\sqrt 2 (100-k)$
$\Leftrightarrow k>\dfrac{100\sqrt 2-\sqrt 3}{\sqrt 3+\sqrt 2}=(100\sqrt 2-\sqrt 3)(\sqrt 3-\sqrt 2)=101\sqrt 6-203$
$\Rightarrow k\geq \left \lfloor 101\sqrt 6-200 \right \rfloor+1=45$
Ομοίως είναι $\binom{100}{k}\sqrt 2^k\sqrt 3^{100-k}<\binom{100}{k+1}\sqrt 2^{k+1}\sqrt 3^{99-k}$
Για $k<101\sqrt 6-200\Rightarrow k+1\leq \left \lfloor 101\sqrt 6-200 \right \rfloor+1=45$
Από τις 2 αυτές σχέσεις παίρνουμε:
$\binom{100}{0}\sqrt 2^0\sqrt 3^{100}<\binom{100}{1}\sqrt 2^{1}\sqrt 3^{99}<...<\binom{100}{45}\sqrt 2^{45}\sqrt 3^{55} (1)$
Και: $\binom{100}{45}\sqrt 2^{45}\sqrt 3^{55}>\binom{100}{46}\sqrt 2^{46}\sqrt 3^{54}>...>\binom{100}{100}\sqrt 2^{100}\sqrt 3^{0} (2)$
Από τις (1),(2)

παίρνουμε ότι ο $\binom{100}{45}\sqrt 2^{45}\sqrt 3^{55}$ είναι ο μεγαλύτερος προσθετέος

4ptil · #3

Ο νιοστός όρος του αναπτύγματος είναι $K_n=\binom{100}{n}(\sqrt{2})^{n}(\sqrt{3})^{100-n}$ και ο ν+1-οστός είναι $K_(n+1)=\binom{100}{n+1}(\sqrt{2})^{n+1}(\sqrt{3})^{99-n}$ άρα αρκεί να λύσω $\frac{K_(n+1)}{K_n}\geq 1$ και προκύπτει $n\leq 101\sqrt{6}-203\in (44,45)$ όμως αφού $n\in \mathbb{N}$ n=44

άρα επόμενος όρος δηλαδή ο $K_(45)=\binom{100}{45}\sqrt{2}^{45}\sqrt{3}^{55}$
είναι ο μεγαλύτερος.

Μέγιστος όρος αναπτύγματος!

Μέγιστος όρος αναπτύγματος!

Re: Μέγιστος όρος αναπτύγματος!

Re: Μέγιστος όρος αναπτύγματος!

Μέλη σε σύνδεση