Άνω φράγμα για την απόλυτη τιμή πολυωνύμου

Λάμπρος Κατσάπας · #1

Δίνονται $a,b,c,p \in \mathbb{R},p>0$ .

Για κάθε $x\in[-1,1]$ ισχύει: $\left | ax^2+bx+c \right |\leq p.$

Δείξτε ότι για κάθε $x\in[-1,1]$ ισχύει: $\left | cx^2+bx+a \right |\leq 2p.$

Λάμπρος Κατσάπας · #2

Επαναφορά.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Κατά λάθος έχει γραφεί δύο φορές.
Το αποκάτω είναι η απάντηση.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: ↑
Τετ Ιούλ 22, 2020 10:12 am
Δίνονται $a,b,c,p \in \mathbb{R},p>0$ .

Για κάθε $x\in[-1,1]$ ισχύει: $\left | ax^2+bx+c \right |\leq p.$

Δείξτε ότι για κάθε $x\in[-1,1]$ ισχύει: $\left | cx^2+bx+a \right |\leq 2p.$

Θα γραψω σύντομη απάντηση.
Είναι της μόδας τώρα τελευταία στο φόρουμ.
Εύκολα μπορούμε να υποθέσουμε ότι c>0

(γιατί ; )
Θέτουμε f(x)=ax^2+bx+c

και

Είναι $|g(1)|=|f(1)|\leq p$
$|g(-1)|=|f(-1)|\leq p$
1 περίπτωση
$g(x)\geq 0$
είναι x=t(-1)+(1-t)1

$0\leq t\leq 1$
Από κυρτότητα έχουμε ότι $|g(x)|=g(x)\leq tg(-1)+(1-t)g(1)\leq p \leq2 p$
2 περίπτωση
g(x)<0

Είναι
$|g(x)|=-g(x)=-cx^2-bx-a\leq -bx-a\leq |b|+|a|$ (1)
Αλλά για x=0

είναι $|c|\leq p$
και $\displaystyle{|ax^2+bx|-|c|\leq |f(x)|$
Δηλαδή } $|ax^2+bx|\leq 2p$
Από την τελευταία παίρνουμε ότι
$|a+b|\leq 2p ,|a-b|\leq 2p$ (2)

Επειδή |a+b|=|a|+|b|

η

η προηγούμενη μαζί με την (2) δίνουν ότι η(1) γίνεται
$|g(x)|\leq 2p$
και η απόδειξη τελείωσε.
Είμαι σχεδόν σίγουρος ότι υπάρχει πιο απλη απόδειξη

Άνω φράγμα για την απόλυτη τιμή πολυωνύμου

Άνω φράγμα για την απόλυτη τιμή πολυωνύμου

Re: Άνω φράγμα για την απόλυτη τιμή πολυωνύμου

Re: Άνω φράγμα για την απόλυτη τιμή πολυωνύμου

Re: Άνω φράγμα για την απόλυτη τιμή πολυωνύμου

Μέλη σε σύνδεση