Ανισότητα σε τρίγωνο

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2922
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα
Επικοινωνία:

Ανισότητα σε τρίγωνο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Πέμ Ιουν 18, 2020 4:46 pm

Έστω a, b και c τα μήκη των πλευρών ενός τριγώνου, \tau η ημιπερίμετρός του, R η ακτίνα του περιγεγραμμένου στο τρίγωνο κύκλου και S το εμβαδόν του τριγώνου. Να αποδειχθεί ότι
\displaystyle\sum\limits_{cyc}\frac{(\tau-a)^4}{c(\tau-b)}\geqslant\frac{3}{2}\sqrt[3]{\frac{R^2S^2}{4}} και να βρεθεί πότε ισχύει η ισότητα.


Σημείωση: Κατά πάσα πιθανότητα η εκφώνηση είναι σωστή αν και δεν έχω τρόπο να το επιβεβαιώσω, μιας και δεν έχω λύση της.


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8644
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Ανισότητα σε τρίγωνο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Πέμ Ιουν 18, 2020 6:07 pm

Σωστή είναι Γρηγόρη.

Χρησιμοποιούμε τη γνωστή αντικατάσταση a=x+y,b=y+z,c=z+x όπου x,y,z > 0. Τότε \tau = x+y+z και SR = \frac{abc}{4} οπότε η ζητούμενη ανισότητα γίνεται

\displaystyle  \sum_{z^4}^{y(z+x)}  \geqslant \frac{3}{8} [(x+y)(y+z)(z+x)]^{2/3}

Και εδώ αλλά και πιο κάτω όλα τα αθροίσματα είναι κυκλικά.

Από ΑΜ-ΓΜ έχουμε (x+y)^2 + (y+z)^2 + (z+x)^2 \geqslant 3\sqrt[3]{(x+y)(y+z)(z+x)}. Αρκεί λοιπόν να δείξουμε ότι

\displaystyle \sum_{z^4}^{y(z+x)}  \geqslant \frac{(x+y)^2 + (y+z)^2 + (z+x)^2}{8} = \frac{1}{4} \sum x^2 + \frac{1}{4} \sum xy

Από Cauchy-Schwarz είναι

\displaystyle \sum \frac{z^4}{y(z+x)} \geqslant \frac{\left(\sum z^2\right)^2}{\sum y(z+x)} = \frac{\left(\sum x^2\right)^2}{2\sum xy}  \geqslant \frac{1}{2} \sum x^2

Μένει λοιπόν να δειχθεί ότι \displaystyle 2\sum x^2 \geqslant \sum x^2 + \sum xy το οποίο είναι γνωστό και το χρησιμοποιήσαμε ήδη και στην προηγούμενη ανισότητα.

Επεξεργασία: Αμέλησα να ελέγξω την περίπτωση της ισότητας. Όλες οι ανισότητες που χρησιμοποιήσαμε ισχύουν όταν x=y=z και τουλάχιστον μία, π.χ. η \displaystyle \sum x^2 \geqslant \sum xy, ισχύει μόνο όταν x=y=z. Άρα για την ισότητα πρέπει x=y=z που δίνει a=b=c, δηλαδή όταν το τρίγωνο είναι ισόπλευρο.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης