Ανισότητα με διατεταγμένους αριθμούς
Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Ανισότητα με διατεταγμένους αριθμούς
Επαναφορά.
Η ανισότητα είναι για να αποδειχθεί μια άλλη.
Αυτή βρίσκεται στο
viewtopic.php?f=59&t=15824
Η ανισότητα είναι για να αποδειχθεί μια άλλη.
Αυτή βρίσκεται στο
viewtopic.php?f=59&t=15824
-
- Δημοσιεύσεις: 838
- Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Ανισότητα με διατεταγμένους αριθμούς
Μπορεί να συμμαζεύεται η παρακάτω αλλά λόγω ώρας αδυνατώ να το κοιτάξω.
Για να τη φέρουμε σε μια πιο ευανάγνωστη μορφή θέτουμε για ,
καθώς και για .
Θέλουμε να δείξουμε ότι
Γράφουμε τώρα
Προχωράμε με επαγωγή.
Για έχουμε ότι η
είναι ισοδύναμη με την που ισχύει.
Υποθέτουμε ότι ισχύει για και θα δείξουμε ότι ισχύει για
Είναι
H είναι ισοδύναμη με την
που με τη σειρά της είναι ισοδύναμη με την
που ισχύει, αφού
τελευταία επεξεργασία από Λάμπρος Κατσάπας σε Δευ Δεκ 23, 2019 1:52 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3341
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: Ανισότητα με διατεταγμένους αριθμούς
Πολλαπλασιάζοντας τα δύο σκέλη της ανισότητας με τον παρονομαστή του δεξιού σκέλους και κρατώντας μόνον τους αρνητικούς όρους του αριστερού σκέλους καταλήγουμε σε μία ανισότητα που προκύπτει άμεσα από τους όρους του προβλήματος (και κάτι λιγότερο, αρκεί να έχουμε και να είναι ο μεγαλύτερος ή ίσος των υπολοίπων). Γράφω τις σχετικές ανισότητες για , , (παραλείποντας τον γενικό τύπο):
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3341
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: Ανισότητα με διατεταγμένους αριθμούς
Ιδού και ο 'γενικός τύπος' (που δεν παρέθεσα χθες βράδυ λόγω έλλειψης χρόνου), η ανισότητα που ξεκλειδώνει το πρόβλημα:gbaloglou έγραψε: ↑Δευ Δεκ 23, 2019 1:48 amΠολλαπλασιάζοντας τα δύο σκέλη της ανισότητας με τον παρονομαστή του δεξιού σκέλους και κρατώντας μόνον τους αρνητικούς όρους του αριστερού σκέλους καταλήγουμε σε μία ανισότητα που προκύπτει άμεσα από τους όρους του προβλήματος (και κάτι λιγότερο, αρκεί να έχουμε και να είναι ο μεγαλύτερος ή ίσος των υπολοίπων). Γράφω τις σχετικές ανισότητες για , , (παραλείποντας τον γενικό τύπο):
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Ανισότητα με διατεταγμένους αριθμούς
Έστω . Ορίζουμε για . (Δεν θέτω περιορισμό διάταξης στα )
Η είναι κοίλη σε κάθε μεταβλητή () οπότε η παίρνει ελάχιστη τιμή στα άκρα. Επομένως όταν η ελαχιστοποιείται τα είναι ίσα με ή . H ελάχιστη τιμή της ισούται με
για κάποιο . Ισχύει όμως ότι αφού
Άρα για κάθε και επομένως η αρχική ανισότητα είναι αληθής.
Η είναι κοίλη σε κάθε μεταβλητή () οπότε η παίρνει ελάχιστη τιμή στα άκρα. Επομένως όταν η ελαχιστοποιείται τα είναι ίσα με ή . H ελάχιστη τιμή της ισούται με
για κάποιο . Ισχύει όμως ότι αφού
Άρα για κάθε και επομένως η αρχική ανισότητα είναι αληθής.
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Ανισότητα με διατεταγμένους αριθμούς
Η ανισότητα γράφεται
επαγωγή στο
Για απλές πράξεις.
Στο επαγωγικό βήμα αρκει να δειχθεί ότι
η
η
που τετριμμένα ισχύει αφού
Προφανώς η διάταξη δεν χρειάζεται παρά μόνο το μεγαλύτερο.
Το έβαλα έτσι γιατί έτσι τα είχε βάλει ο Πέτρος στην αρχική ανισότητα που δημιούργησε αυτήν.
επαγωγή στο
Για απλές πράξεις.
Στο επαγωγικό βήμα αρκει να δειχθεί ότι
η
η
που τετριμμένα ισχύει αφού
Προφανώς η διάταξη δεν χρειάζεται παρά μόνο το μεγαλύτερο.
Το έβαλα έτσι γιατί έτσι τα είχε βάλει ο Πέτρος στην αρχική ανισότητα που δημιούργησε αυτήν.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες