Ανισότητα με συνθήκη που έχει ρίζες

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #1

Εστω

ώστε

$\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{yz}=1$

Να δειχθεί ότι

$\dfrac{x^{2}}{x+y}+\dfrac{y^{2}}{y+z}+\dfrac{z^{2}}{z+x}\geq \dfrac{1}{2}$

#2

Μια γρήγορη λύση. Από C-S
$\dfrac{x^{2}}{x+y}+\dfrac{y^{2}}{y+z}+\dfrac{z^{2}}{z+x}\geq\dfrac{(x+y+z)^2}{2(x+y+z)}=\dfrac{x+y+z}{2}\geq\dfrac{\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{yz}}{2}= \dfrac{1}{2}$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

silouan έγραψε: ↑
Κυρ Σεπ 01, 2019 2:11 am
Μια γρήγορη λύση. Από C-S
$\dfrac{x^{2}}{x+y}+\dfrac{y^{2}}{y+z}+\dfrac{z^{2}}{z+x}\geq\dfrac{(x+y+z)^2}{2(x+y+z)}=\dfrac{x+y+z}{2}\geq\dfrac{\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{yz}}{2}= \dfrac{1}{2}$

Σιλουανέ αυτό λέγεται ξεφτιλισμός των Ρουμάνων.

Η ανισότητα είναι από διαγωνισμό της Ρουμανίας.(ας είναι καλά ο Μπάμπης)
Αν δεις την λύση που δίνουν τότε θα συμφωνήσεις με το παραπάνω σχόλιο.
Τα άλλα δεν τα γράφω εννοούνται.

#4

Διαφορετικά:

$\displaystyle \begin{aligned}\frac{x^2}{x+y} + \frac{y^2}{y+z} + \frac{z^2}{z+x} &= \left(x - \frac{xy}{x+y} \right) + \left(y - \frac{yz}{y+z} \right) + \left(z - \frac{zx}{z+x} \right) \\ &=(x+y+z) - \left(\frac{xy}{x+y} + \frac{yz}{y+z} + \frac{zx}{z+x} \right) \\ &\geqslant (x+y+z) - \left( \frac{\sqrt{xy}}{2} + \frac{\sqrt{yz}}{2} + \frac{\sqrt{zx}}{2} \right)\\ &\geqslant \frac{1}{2}\left(\sqrt{xy} + \sqrt{yz} + \sqrt{zx} \right) = \frac{1}{2} \end{aligned}$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #5

Γράφω την λύση των Ρουμάνων.

$x-y+y-z+z-x=0\Rightarrow \frac{x^{2}-y^{2}}{x+y}+\frac{y^{2}-z^{2}}{y+z}+\frac{z^{2}-x^{2}}{z+x}=0$

$\Rightarrow \frac{x^{2}}{x+y}+\frac{y^{2}}{y+z}+\frac{z^{2}}{z+x}=\frac{y^{2}}{x+y}+\frac{z^{2}}{y+z}+\frac{x^{2}}{z+x}\Rightarrow \frac{x^{2}}{x+y}+\frac{y^{2}}{y+z}+\frac{z^{2}}{z+x}=\frac{1}{2}(\frac{x^{2}+y^{2}}{x+y}+\frac{y^{2}+z^{2}}{y+z}+\frac{z^{2}+x^{2}}{z+x})$ (1)

παίρνοντας την
$\frac{x^{2}+y^{2}}{x+y}\geq \frac{x+y}{2}\geq \sqrt{xy}$

και τις κυκλικές της η τελευταία παράσταση στην (1) δεν ξεπερνά
το
$\frac{1}{2}(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx})=\frac{1}{2}$

Ανισότητα με συνθήκη που έχει ρίζες

Ανισότητα με συνθήκη που έχει ρίζες

Re: Ανισότητα με συνθήκη που έχει ρίζες

Re: Ανισότητα με συνθήκη που έχει ρίζες

Re: Ανισότητα με συνθήκη που έχει ρίζες

Re: Ανισότητα με συνθήκη που έχει ρίζες

Μέλη σε σύνδεση