Απορία σε πολλαπλασιαστές Lagrange

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

miltosk
Δημοσιεύσεις: 30
Εγγραφή: Τετ Μάιος 29, 2019 7:28 pm

Απορία σε πολλαπλασιαστές Lagrange

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από miltosk » Δευ Αύγ 12, 2019 2:00 pm

Καλησπέρα.
Έχω ένα θεματάκι με τους φακέλους ενδεχομέμως να χρειάζεται αλλαγή.
Θέλω να ζητήσω βοήθεια επειδή έχω μερικές απορρίες στους πολλαπλασιαστές Lagrange:
1) Εξασφαλίζουν ολικά ή τοπικά ακρότατα;
2) Όταν μετά την παραγώγιση προκύπτουν μη γραμμικά συστήματα με 2 ή περισσότερες λύσεις ποιες λύσεις πρέπει να χρησιμοποιήσω ώστε να βγάλω τους πολλαπλασιαστές συναρτήσει των μεταβλητών;
3) Πως θα αναγνωρίσω αν αυτό που προκύπτει είναι το μέγιστο ή το ελάχιστο;
Μπορεί να διατυπώνω κάτι λάθος μιας και μόλις διάβασα επί του θέματος και η οποιαδήποτε βοήθεια είναι δεκτή
Ευχαριστώ εκ των προτέρων
Edit: παρακαλώ αν μπορείτε να δώσετε μια λύση με πολλαπλασιστές Lagrange στο ακόλουθο:
Αν \sum_{i=1}^{n}x_i=1, να βρείτε το ελάχιστο της παράστασης:
\sum_{i=1}^{n}x_i^k, k\epsilon\mathbb{N^*}, συναρτήσει του k και x_i θετικοί πραγματικοί.



Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2702
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Απορία σε πολλαπλασιαστές Lagrange

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Δευ Αύγ 12, 2019 3:59 pm

miltosk έγραψε:
Δευ Αύγ 12, 2019 2:00 pm
Καλησπέρα.
Έχω ένα θεματάκι με τους φακέλους ενδεχομέμως να χρειάζεται αλλαγή.
Θέλω να ζητήσω βοήθεια επειδή έχω μερικές απορρίες στους πολλαπλασιαστές Lagrange:
1) Εξασφαλίζουν ολικά ή τοπικά ακρότατα;
2) Όταν μετά την παραγώγιση προκύπτουν μη γραμμικά συστήματα με 2 ή περισσότερες λύσεις ποιες λύσεις πρέπει να χρησιμοποιήσω ώστε να βγάλω τους πολλαπλασιαστές συναρτήσει των μεταβλητών;
3) Πως θα αναγνωρίσω αν αυτό που προκύπτει είναι το μέγιστο ή το ελάχιστο;
Μπορεί να διατυπώνω κάτι λάθος μιας και μόλις διάβασα επί του θέματος και η οποιαδήποτε βοήθεια είναι δεκτή
Ευχαριστώ εκ των προτέρων
Edit: παρακαλώ αν μπορείτε να δώσετε μια λύση με πολλαπλασιστές Lagrange στο ακόλουθο:
Αν \sum_{i=1}^{n}x_i=1, να βρείτε το ελάχιστο της παράστασης:
\sum_{i=1}^{n}x_i^k, k\epsilon\mathbb{N^*}, συναρτήσει του k και x_i θετικοί πραγματικοί.
Θα δώσω τώρα μια απάντηση στα ερωτήματα σου.
1)Δεν εξασφαλίζουν τίποτα.
Δηλαδή ένα σημείο που προκύπτει από την λύση του συστήματος μπορεί να μην είναι ακρότατο.
2)Ολες. Προφανώς βέβαια να είναι μέσα στο χωρίο που δίνονται.
3)Είναι μεγάλη ιστορία. Δεν υπάρχει ένας συγκεκριμένος τρόπος.
Γνωρίζω ότι σε απογοήτευσα.
Θα εξηγήσω πιο αναλυτικά το βράδυ.
(ελπιζω να εχω λύσει το πρόβλημα με το ιντερνέτ)


miltosk
Δημοσιεύσεις: 30
Εγγραφή: Τετ Μάιος 29, 2019 7:28 pm

Re: Απορία σε πολλαπλασιαστές Lagrange

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από miltosk » Δευ Αύγ 12, 2019 5:23 pm

Αν και δεν πρέπει να είμαι ανυπόμονος αλλά απ ότι διάβασα (και θέλω να πιστεύω ότι κατάλαβα) σε ένα άρθρο έλεγε ότι όταν δίνεται συνθήκη μπορούμε μέσω των πολλαπλασιαστών να βρούμε μέγιστα και ελάχιστα αλλά απ ότι καταλαβαίνω επιβάλλεται να δίνεται συνθήκη. Οπότε τι εννοείτε ότι δεν εξασφαλίζουν τίποτα;


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2702
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Απορία σε πολλαπλασιαστές Lagrange

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Δευ Αύγ 12, 2019 11:31 pm

Δυστυχώς έγραψα απάντηση αλλά λόγω κακού ιντερνετ χάθηκε.
Ξανα γράφω,
Ας δούμε το πρόβλημα που έβαλες σε μια ειδική περίπτωση.
Θέλουμε το ελάχιστο της f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}
όταν x+y+z=1,x,y,z>0
Αν θέσουμε A=\left \{(x,y,z) : x+y+z=1,x,y,z>0\right \}
θέλουμε για την
f:A\rightarrow \mathbb{R}
να βρούμε την ελάχιστη τιμή.
Δεν μπορούμε να ξέρουμε ότι αυτή υπάρχει γιατί το σύνολο
A δεν είναι συμπαγές.
Κάνοντας την μέθοδο του Lagrange βρίσκουμε το σημείο
(\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3})
δεν ξέρουμε τι γίνεται σε αυτό.
π.χ γιατί να μην παίρνει μέγιστη τιμή.
Θεωρούμε το σύνολο B=\left \{(x,y,z) : x+y+z=1,x,y,z\geq 0\right \}
η
f:B\rightarrow \mathbb{R}
γνωρίζουμε ότι παίρνει μέγιστη και ελάχιστη τιμή.
Αυτό οφείλεται στο ότι το B είναι συμπαγές.
Αν πάρουμε x=0 τότε βλέπουμε ότι η y^{2}+z^{2}
παίρνει μέγιστη τιμή 1 στα (0,1,0),(0,0,1) και ελάχιστη
\frac{1}{2}
στο
(0,\frac{1}{2},\frac{1}{2})
Λόγω συμμετρίας το ίδιο γίνεται αν y=0 ηz=0
Αλλά f(\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3})=\frac{1}{3}
Τώρα μπορούμε να πούμε ότι πράγματι αυτή είναι η ελάχιστη τιμή.
Με τις αρχικές συνθήκες δεν υπάρχει μέγιστη τιμή.

Για να χρησιμοποιούμε σωστά την μέθοδο πρέπει να γνωρίζουμε γεωμετρία και τοπολογία
του \mathbb{R}^{n}


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2702
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Απορία σε πολλαπλασιαστές Lagrange

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Δευ Αύγ 12, 2019 11:53 pm

Κοίτα και κάτι άλλο.
Πάρε την f(x,y)=x^{3}-y^{2}
με τον περιορισμό
y=x^{5}
Κάνοντας Lagrange θα πάρεις
3x^{2}-5\lambda x^{4}=0,-2y+\lambda =0
Το σημείο (0,0) ικανοποιεί.
Σε αυτό το σημείο η συνάρτηση δεν έχει τοπικό ακρότατο πάνω στον περιορισμό.


miltosk
Δημοσιεύσεις: 30
Εγγραφή: Τετ Μάιος 29, 2019 7:28 pm

Re: Απορία σε πολλαπλασιαστές Lagrange

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από miltosk » Δευ Αύγ 12, 2019 11:56 pm

Σας ευχαριστώ πολύ αλλά για να είμαι ειλικρινής είμαι ακόμα μπερδεμένος.
1) Δεν μπορούμε να βρούμε τιμή με αυτό τον τρόπο όταν υπάρχει συνθήκη και αυτή να είναι η μέγιστη ή η ελάχιστη σε ένα σημείο και για να δούμε αν είναι μέγιστο ή ελάχιστο απλά να τοποθετήσουμε ένα άλλο σημείο και να δούμε αν είναι μεγαλύτερη ή μικρότερη η τιμή της συνάρτησης;
2) Ο τρόπος αυτός δεν μας δίνει τη σχέση που πρέπει να έχουν οι μεταβλητές μεταξύ τους για να πάρουμε ελάχιστο/μέγιστο; (πχ στην άσκηση που έβαλα νομίζω καταλήγει σε x=y=z με την απλοποίησή σας και βγαίνει μετά το κλάσμα)
3) Πιο πάνω μου απαντήσατε πως κοιτάμε όλες τις λύσεις αλλά με ποιους συνδυασμούς λύσεων κάθε συστήματος;
4) Τέλος είχα βρει αυτόν τον τύπο σε ένα άρθρο:
\frac{\partial (f(x_1,x_2...,x_n)+\sum_{i=1}^{k}l_ig(x)_i)}{\partial x_i}=0,(l_i οι πολλαπλασιαστές Lagrange και g(x)_i οι συνθήκες με k συνθήκες που περιέχουν τις μεταβλητές και μετά λύνουμε το σύτημα για τις n μεταβλητές. Αυτό ισχύει;
Γνωρίζω ότι κουράζω με τόσες απορίες αλλά όντας μαθητής λυκείου ακόμα ζορίζομαι κάπως να το καταλάβω και δεν είναι κανένας υποχρεωμένος να με βπηθήσει.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2702
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Απορία σε πολλαπλασιαστές Lagrange

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τρί Αύγ 13, 2019 12:14 am

miltosk έγραψε:
Δευ Αύγ 12, 2019 11:56 pm
Σας ευχαριστώ πολύ αλλά για να είμαι ειλικρινής είμαι ακόμα μπερδεμένος.
1) Δεν μπορούμε να βρούμε τιμή με αυτό τον τρόπο όταν υπάρχει συνθήκη και αυτή να είναι η μέγιστη ή η ελάχιστη σε ένα σημείο και για να δούμε αν είναι μέγιστο ή ελάχιστο απλά να τοποθετήσουμε ένα άλλο σημείο και να δούμε αν είναι μεγαλύτερη ή μικρότερη η τιμή της συνάρτησης;
2) Ο τρόπος αυτός δεν μας δίνει τη σχέση που πρέπει να έχουν οι μεταβλητές μεταξύ τους για να πάρουμε ελάχιστο/μέγιστο; (πχ στην άσκηση που έβαλα νομίζω καταλήγει σε x=y=z με την απλοποίησή σας και βγαίνει μετά το κλάσμα)
3) Πιο πάνω μου απαντήσατε πως κοιτάμε όλες τις λύσεις αλλά με ποιους συνδυασμούς λύσεων κάθε συστήματος;
4) Τέλος είχα βρει αυτόν τον τύπο σε ένα άρθρο:
\frac{\partial (f(x_1,x_2...,x_n)+\sum_{i=1}^{k}l_ig(x)_i)}{\partial x_i}=0,(l_i οι πολλαπλασιαστές Lagrange και g(x)_i οι συνθήκες με k συνθήκες που περιέχουν τις μεταβλητές και μετά λύνουμε το σύτημα για τις n μεταβλητές. Αυτό ισχύει;
Γνωρίζω ότι κουράζω με τόσες απορίες αλλά όντας μαθητής λυκείου ακόμα ζορίζομαι κάπως να το καταλάβω και δεν είναι κανένας υποχρεωμένος να με βπηθήσει.
1)Κοίτα το παράδειγμα από πάνω.
Ο Lagrange μας δίνει σημείο που δεν είναι τίποτα.
2)που θα ξέρεις αν είναι μεγιστο ελάχιστο η τιποτα.
3)Κοιτάμε ΟΛΕΣ τις λύσεις του συστήματος.Το αν δεν μπορούμε να τις βρούμε
είναι άλλο θέμα.
4) είναι η μέθοδος όταν έχουμε πολλούς περιορισμούς.

Η μέθοδος δεν είναι για μαθητές .Προφανώς την λέξη συμπάγεια την έφαγες.
Για να καταλάβει κάποιος την μέθοδο θα πρέπει να γνωρίζει μερικά πράγματα
από την θεωρία συναρτήσεων πολλών μεταβλητών.
Βέβαια μπορεί να χρησιμοποιεί την μέθοδο χωρίς να καταλαβαίνει.
Τότε όμως μπορεί να βγάλει λάθος συμπεράσματα,


miltosk
Δημοσιεύσεις: 30
Εγγραφή: Τετ Μάιος 29, 2019 7:28 pm

Re: Απορία σε πολλαπλασιαστές Lagrange

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από miltosk » Τρί Αύγ 13, 2019 12:21 am

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Τρί Αύγ 13, 2019 12:14 am
miltosk έγραψε:
Δευ Αύγ 12, 2019 11:56 pm
Σας ευχαριστώ πολύ αλλά για να είμαι ειλικρινής είμαι ακόμα μπερδεμένος.
1) Δεν μπορούμε να βρούμε τιμή με αυτό τον τρόπο όταν υπάρχει συνθήκη και αυτή να είναι η μέγιστη ή η ελάχιστη σε ένα σημείο και για να δούμε αν είναι μέγιστο ή ελάχιστο απλά να τοποθετήσουμε ένα άλλο σημείο και να δούμε αν είναι μεγαλύτερη ή μικρότερη η τιμή της συνάρτησης;
2) Ο τρόπος αυτός δεν μας δίνει τη σχέση που πρέπει να έχουν οι μεταβλητές μεταξύ τους για να πάρουμε ελάχιστο/μέγιστο; (πχ στην άσκηση που έβαλα νομίζω καταλήγει σε x=y=z με την απλοποίησή σας και βγαίνει μετά το κλάσμα)
3) Πιο πάνω μου απαντήσατε πως κοιτάμε όλες τις λύσεις αλλά με ποιους συνδυασμούς λύσεων κάθε συστήματος;
4) Τέλος είχα βρει αυτόν τον τύπο σε ένα άρθρο:
\frac{\partial (f(x_1,x_2...,x_n)+\sum_{i=1}^{k}l_ig(x)_i)}{\partial x_i}=0,(l_i οι πολλαπλασιαστές Lagrange και g(x)_i οι συνθήκες με k συνθήκες που περιέχουν τις μεταβλητές και μετά λύνουμε το σύτημα για τις n μεταβλητές. Αυτό ισχύει;
Γνωρίζω ότι κουράζω με τόσες απορίες αλλά όντας μαθητής λυκείου ακόμα ζορίζομαι κάπως να το καταλάβω και δεν είναι κανένας υποχρεωμένος να με βπηθήσει.
1)Κοίτα το παράδειγμα από πάνω.
Ο Lagrange μας δίνει σημείο που δεν είναι τίποτα.
2)που θα ξέρεις αν είναι μεγιστο ελάχιστο η τιποτα.
3)Κοιτάμε ΟΛΕΣ τις λύσεις του συστήματος.Το αν δεν μπορούμε να τις βρούμε
είναι άλλο θέμα.
4) είναι η μέθοδος όταν έχουμε πολλούς περιορισμούς.

Η μέθοδος δεν είναι για μαθητές .Προφανώς την λέξη συμπάγεια την έφαγες.
Για να καταλάβει κάποιος την μέθοδο θα πρέπει να γνωρίζει μερικά πράγματα
από την θεωρία συναρτήσεων πολλών μεταβλητών.
Βέβαια μπορεί να χρησιμοποιεί την μέθοδο χωρίς να καταλαβαίνει.
Τότε όμως μπορεί να βγάλει λάθος συμπεράσματα,
Σας ευχαριστώ πολύ.
Πράγματι τη λέξη συμπάγεια την προσπέρασα σαν να ναι σε άλλη γλώσσα. Σε αυτό το πολλούς περιορισμούς θα ήθελα να σταθώ. Μπορεί να προσπαθήσω να ανεβάσω την λύση μιας άσκησης κάποια στιγμή να δω αν υπάρχει κάποιο παραθυράκι χρήσης της μεθόδου σε κάπως πιο απλή μορφή (αν και χλωμό το βλέπω) διαφορετικά θα την προσπεράσω αλλά νομίζω ότι το θέμα δε χρήζει άλλης συζήτησης.


Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 993
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Απορία σε πολλαπλασιαστές Lagrange

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Τρί Αύγ 13, 2019 12:51 am

Μιας και είσαι μαθητής και σε ενδιαφέρει το θέμα, θα σου πρότεινα να διαβάσεις δυο βιβλία, ίσως άλλοι έχουν να προτείνουν μερικά ακόμη. Το "Ιστορίες για μέγιστα και ελάχιστα" και το "Πρώτες έννοιες τοπολογίας" .

Το μεν πρώτο διαπραγματεύεται στο δεύτερο κομμάτι του βιβλίου την μέθοδο των πολλαπλασιαστών Lagrange. Όπου πιθανόν θα σου λυθούν μερικές απορίες αλλά και θα δεις παραδείγματα το πως εφαρμόζεται.

Στο δε δεύτερο, όπως προανέφερε παραπάνω ο κ.Παπαδόπουλος θα γνωρίσεις μερικές τοπολογικές έννοιες. Όπως της συμπάγειας, πληρότητας, συνεκτικότητας κτλ. που θα βοηθήσουν στην καλύτερη κατανόηση των θεωρημάτων και εργαλείων που χρησιμοποιούνται.

Τι προτέρημα έχουν αυτά τα βιβλία; Είναι γραμμένα για μαθητές. Δεν έχουν την αυστηρότητα/φορμαλισμό και το προαπαιτούμενο πανεπιστημιακών εγχειριδίων, αλλά είναι πιο εύκολα στην ανάγνωση για μια πρώτη επαφή.

Σαν σχόλιο αν επιτρέπεται: Οι πολλαπλασιαστές Lagrange είναι ένα εργαλείο δεν είναι κάποιο είδος βασιλικής οδού, όπως όλα τα εργαλεία, μπορούν να το χρησιμοποιήσουν πολλοί. Το σημαντικό είναι να μάθουμε πως φτιάχτηκε ο εργαλείο για να το χρησιμοποιούμε βιρτουόζικα, αλλά και γιατί όχι να φτιάξουμε καινούργια.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης