acosx+bsinx=c

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1786
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

acosx+bsinx=c

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Τετ Ιούλ 10, 2019 11:03 pm

Να λυθεί, ως προς χ, η εξίσωση:

3sina cosx-cosa sinx =4cosa+ 3\sqrt{3}

Καμμιά καλή ιδέα;; :idea: :P



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11227
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: acosx+bsinx=c

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Ιούλ 11, 2019 12:07 pm

rek2 έγραψε:
Τετ Ιούλ 10, 2019 11:03 pm
Να λυθεί, ως προς χ, η εξίσωση:

3sina cosx-cosa sinx =4cosa+ 3\sqrt{3}
Καλό.

H δοθείσα (συν Cauchy-Schwarz) δίνει

\displaystyle{3\sqrt{3}= 3\sin a \cos x-\cos a \sin x -4\cos a \le |3\sin a \cos x-\cos a \sin x -4\cos a|=}

\displaystyle{=|(3\sin a )\cos x-\cos a \sin x -(2\sqrt 2\cos a) \sqrt 2|\le \sqrt {|(3\sin a )^2 + \cos ^2 a +(2\sqrt 2\cos a)^2}  \sqrt {  \cos ^2x + \sin ^2x +2}=}

\displaystyle{= \sqrt {9\sin ^2a + 9 \cos ^2 a }\sqrt 3=3\sqrt 3}

Άρα έχουμε ισότητα παντού (και στην C-S) που σημαίνει ότι για κάποια σταθερά d είναι

\displaystyle{3\sin a = d\cos x, -\cos a = d \sin x , -2\sqrt 2 \cos a= d\sqrt 2}. Από τις δύο τελευταίες είναι \sin x=1/2 και λοιπά. (Ελπίζω μην έχασα κάποιο πρόσημο).

Edit. Διόρθωσα μικρό λογιστικό σφάλμα.
τελευταία επεξεργασία από Mihalis_Lambrou σε Σάβ Ιούλ 13, 2019 9:30 pm, έχει επεξεργασθεί 3 φορές συνολικά.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2453
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: acosx+bsinx=c

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Πέμ Ιούλ 11, 2019 12:26 pm

rek2 έγραψε:
Τετ Ιούλ 10, 2019 11:03 pm
Να λυθεί, ως προς χ, η εξίσωση:

3sina cosx-cosa sinx =4cosa+ 3\sqrt{3}

Καμμιά καλή ιδέα;; :idea: :P
Γεια σου Κώστα.
Είναι γνωστό ότι η

A\cos x+B\sin x=C

έχει λύση αν και μόνο αν

A^{2}+B^{2}\leq C^{2}

αντικαθιστώντας και κάνοντας τις πράξεις βρίσκουμε ότι

\cos a=-\frac{\sqrt{3}}{2}

Ετσι \sin a=\frac{1}{2} or \sin a=-\frac{1}{2}

στην πρώτη περίπτωση έχουμε την

\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x+\frac{1}{2}\sin x=1

που δίνει λύσεις x=2k\pi +\frac{\pi }{6},k\in \mathbb{Z}

ενώ στην δεύτερη

-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x+\frac{1}{2}\sin x=1

που δίνει λύσεις x=2k\pi +\frac{5\pi }{6},k\in \mathbb{Z}

σημείωση.
1)Από ότι βλέπω με πρόλαβε ο Μιχάλης με λύση λίγο διαφορετική.
Τα αποτελέσματα είναι διαφορετικά.
Θα ελέγξω και αν έχω λάθος θα επανέλθω.
2)Ενας άλλος τρόπος να λυθεί θα ήταν να θέσουμε

t=\tan \frac{x}{2}

οπότε προκύπτει τριώνυμο ως προς t.
Στην συγκεκριμένη η παραπάνω λύση είναι καλύτερη αφού μπορούμε να βρούμε το \cos a


Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1786
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: acosx+bsinx=c

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Πέμ Ιούλ 11, 2019 2:52 pm

Μιχάλη, Σταύρο σας ευχαριστώ!

Να είστε πάντα καλά!

Τελικά εχουμε λύσει το θέμα 5 του συνδέσμου

https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 36&t=64792

( οι περιορισμοί διευθετουνται εύκολα)

Και πάλι σας ευχαριστώ! :-) :-) :-)


KDORTSI
Διακεκριμένο Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1834
Εγγραφή: Τετ Μαρ 11, 2009 9:26 pm

Re: acosx+bsinx=c

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KDORTSI » Παρ Ιούλ 12, 2019 2:29 pm

rek2 έγραψε:
Τετ Ιούλ 10, 2019 11:03 pm
Να λυθεί, ως προς χ, η εξίσωση:

3sina cosx-cosa sinx =4cosa+ 3\sqrt{3}

Καμμιά καλή ιδέα;; :idea: :P
Μιχάλη, Σταύρο, Κώστα γεια σας!

Πάντα μια παράμετρος σε μια παράσταση, κυρίως σε μια συνάρτηση δημιουργεί μια "κινητικότητα" που
εμένα με προκαλεί!

Στην προκειμένη περίπτωση αν δώσουμε στην παράμετρο \displaystyle{a} τιμές από το διάστημα \displaystyle{[0, 2\pi]} τότε
θα δούμε την ημιτονοειδή καμπύλη να κινείται και για δυο τιμές τις \displaystyle{a_1=150^o} και \displaystyle{a_2=210^o}
να "κρέμεται στα μανταλάκια"(στις δυο ακολουθίες ριζών)
Τριγωνομετρική λύση 2.png
Τριγωνομετρική λύση 2.png (22.98 KiB) Προβλήθηκε 185 φορές
Για να δείτε την όλη κίνηση μπείτε στο αρχείο που παραθέτω στο οποίο έχω και οδηγίες χρήσης.
Τριγωνομετρική εξίσωση 1.ggb
(17 KiB) Μεταφορτώθηκε 15 φορές
Κώστας Δόρτσιος


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης